第22卷第6期山東科學(xué)Vol 22 No 62000年12月SHANDONG SCIENCEDee.2009文章編號:10024026(2009)06000904環(huán)形彈子球動力學(xué)性質(zhì)研究裴云昌,卞洪濤,張延惠,林圣路(山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院山東濟南250014)摘要彈子球作為一個理想模型可以用來描述受限邊界腔中微觀粒子運動的動力學(xué)特征。本文研究了介觀二維偏心環(huán)形彈子球體系的動力學(xué)性質(zhì),利用相空間中的龐加萊截面分析了彈子球運動的特性,其結(jié)果可以為研究量子混沌和微腔輸運提供理論指導(dǎo)關(guān)鍵詞:環(huán)形彈子球;經(jīng)典軌道;龐加萊截面中圖分類號:0415.5;0561.5文獻標識碼:AThe Research of Dynamic Property On the Annular BilliardPEI Yun-chang, BIAN Hong-tao, ZHANG Yan-hui, LIN Sheng-luCollege of Physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan 250014, China)Abstract: Two-dimensional billiard systems have been a popular subject for exploring dynamics ofmesoscopic systems. In this work, we choose an annular billiard as example, study its dynamicalbehavior by Poincare surface of section in the phase space, which provide theoretical help forstudying quantum chaos and micro cavity transportKey words: annular billiard: classical trajectory; Poincare surface of section近年來量子點(量子臺球)作為很好的理論模型,用來研究量子與經(jīng)典的對應(yīng)關(guān)系。在量子力學(xué)的半經(jīng)典極限中,如果不研究系統(tǒng)的經(jīng)典運動性質(zhì),許多量子性質(zhì)難以深入研究。一般的二維量子臺球問題是研究臺球區(qū)域內(nèi)部存在恒定勢場的情況下其粒子的運動情況。粒子在邊界上是彈性散射,在兩次碰撞之間做直線運動,臺球場區(qū)域的尺度小于粒子的彈性碰撞平均自由程,大于粒子的費米波長,所以可以看做自由粒子,因此臺球區(qū)域的形狀決定了粒子的運動是規(guī)則的還是混沌的。在理論上應(yīng)用周期軌道理論和閉合軌道理論已經(jīng)討論過矩形、三角形21、橢圓等體系,這些量子臺球都有一個共同的性質(zhì)—有解析的本征值和本征函數(shù),是可積體系。本文研究的環(huán)形彈子球,從量子力學(xué)上很難給出具體的解析本征值和本征函數(shù),是一個混合體系,既有規(guī)則運動又有混沌運動。1理論方法環(huán)形彈子球由兩個圓組成,如圖1所示:外圓半徑R=1(原子單位),內(nèi)圓半徑為r,內(nèi)圓和外圓的圓心距為δ滿足(r+δ≤R)。環(huán)形彈子球系統(tǒng)有兩個自由度,因此需要四個相空間坐標。由于能量守恒,彈子球的運動發(fā)生在三維超曲面上3,我們可以用二維相空間龐加萊截面來描述彈子球的動力學(xué)性質(zhì)。對于一中國煤化工期:200909CNMHG國家自然科學(xué)基金資助項目(10374061,1074093)裴云}(1982-),男,碩上:,主要研究橄子器件微觀輸運可題通訊作者: E-mail: yizhang@admu,edu,cmn10東科學(xué)2000年種特殊情況,如果6=0,這時兩圓同心,不管r怎么取值粒子的能量和角動量都是守恒的體系是完全可積的。隨著8的變化,體系由可積到不可積產(chǎn)生混沌效應(yīng)。因此用一個參數(shù)δ的變化就可以研究體系從規(guī)則到混沌的運動變化特征。在本文中采用 Birkhoff坐標,在相空間中研究了彈子球與外圓的碰撞的性質(zhì)根據(jù)幾何關(guān)系用兩個角度就可以確定碰撞點:6是和X軸正方向的夾角,a是軌道和外圓發(fā)生碰撞散射的夾角,如圖1所示根據(jù)彈子球的運動特點,在相空間中利用兩個坐標(L,S)描述其動力學(xué)特性,其中S=sin(a)表示臺球的角動量;橫坐標L=6/2m表示與外圓碰撞的歸一化弧長,變化范圍-1≤S≤1,-1/2≤L≤1/2。由圖1可以看出彈子球存在兩種類型的運動,分別用A和B來標記,如果彈子球與外圓碰撞點的坐標滿足如下條件67(a)A運動b)B運動Isin(a)+sin(a-0I>r (1)意味著彈子球在下一次與外圓碰撞前R外圓半徑,:內(nèi)圓節(jié)徑6:偏心距,0和a為兩個角度坐標沒有同內(nèi)圓碰撞,定義為A運動,其映射方圖1偏心圓環(huán)的幾何圖形a2=a1(2)1=6+(丌-2a0)A運動映射方程可以肴出其運動是規(guī)則的,這時相當于不存在內(nèi)圓,系統(tǒng)就變成了圓形彈子球。如果條件(1)不滿足,就意味著在下一次與外圓碰撞前先與內(nèi)圓發(fā)生了碰撞,定義為B運動其映射方程:sin(B)=(sin(ao)+&sin(ao-8))/(4)B-(∞-B(a,)=rsin(B)-Ssin(a-01)6其中B是軌道與內(nèi)圓碰撞反射的角度。對于B運動系統(tǒng)的角動量不再守恒系統(tǒng)呈現(xiàn)混池現(xiàn)象2計算結(jié)果與討論圖2的四個圖展示了環(huán)形彈子球豐宮的動力學(xué)性質(zhì)。在相空間的龐加萊截面中,S≥0.75或S≤-0.75的一些水平虛線表明粒子角動量守恒,系統(tǒng)是可積的,對稱的分布在S=0的兩側(cè),這時只有A映射,類似于一種冋音壁的結(jié)構(gòu),也稱低語冋廊( whispering gallery)。對于S<0.75或S>-0.75這個區(qū)域,可以看到彈子球包含A和B兩種運動原點(L,S)=(0,0)對應(yīng)一個橢圓不動點在計算中選取r+8=0.75分別計算了r=0.7,8=0.05;r=0.6,8=0.15;r=0.55,8=0.2;r=0.40,8=0.35四組數(shù)據(jù)。從四組圖中可以看出在8很小時(如圖2(a),混沌區(qū)域不明顯,準周期軌道比較明顯隨著δ的稍微增大(如圖2(b),(c)),準周期軌道減少,隨著δ的進一步增加,相空間中最外層KAM面破裂,混沌的島嶼也逐漸變多(如圖(d),混沌特征越來越明顯。圖3給出彈子球在8=0和8≠0的部分運動軌跡。同心圓中,圖3(a),(b),(c)表示在同心圓中運動是完全規(guī)則的,或者與內(nèi)圓不相撞或者與內(nèi)外圓有規(guī)律的碰撞。圖3(d),(e),(f)表示只要內(nèi)外圓圓心稍微偏離一點,其粒子的運動就不再規(guī)則除非像(c)中粒子沒有與內(nèi)圓碰撞滿足A映射方程,在相空間中對應(yīng)S≥0.75的區(qū)域。對于(d)中的運動軌跡中國煤化工司中對應(yīng)于(L,S)=(0,0)周圍的橢圓區(qū)域CNMHG第6期裴云昌,等:環(huán)形彈子球動力學(xué)性質(zhì)研究r0.6/80.l01·:-=-10.5040.20.00.204-0.50-.250000.250.50(a)r=0.7,S=0.05(b)r=0.6,=0.151004603v00o0.50-0.250.0250.500.50.250000250.50(c)P=0.55,=02(d)P=0.40,6=035圖2彈子球運動的相空間圖b圖3彈子球在同心和偏心環(huán)中的部分運動軌跡3結(jié)論由以上分析,當δ=0時,兩個圓為同心圓,彈子球的能量和角動量都保持不變,所以當我們保持內(nèi)圓半徑r不變,彈子球的運動隨著δ的變化而變化,對于偏心環(huán)形彈子球,系統(tǒng)是不可積的,其運動在相空間中分為三個不同的區(qū)域,一是嚴格的可積部分說明彈子球和內(nèi)圓沒有相撞,二是彈子球有選擇的和內(nèi)圓或外圓相碰,三是彈子球隨機的與內(nèi)外圓相碰,即完全不規(guī)則的運動,呈現(xiàn)出混沌的特征,這對于我們進一步研究經(jīng)典和量子的對應(yīng)以及微觀體系混沌的動力學(xué)性質(zhì)打下一定的中國煤化工諭運實驗正在進行,我們期待進一步進行比對研究,以促進理論與實驗的HCNMHG山東科學(xué)2009年參考文獻:[1]陸軍,杜孟利從量子譜到經(jīng)典軌道:矩形腔中的彈子球[J].物理學(xué)報,2004,53(8):2450-2453.[2]高峰洪正平,趙文麗,林圣路.正:角形彈子球體系的半經(jīng)典分析[J].山東師范大學(xué)學(xué)報,2005,20(1):32-35[3]徐學(xué)友,張延惠,黃發(fā)忠林圣路杜孟利二維橢圓量子臺球中的譜分析[J].物理學(xué)報,200,54(10):4538-4542[4]ESPINOZA ORITIZ J S and EGYDIO DE CARVALHO R. 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