第23卷第5期(2007)河西學(xué)院學(xué)報(bào)vol.23No.5〔2007)高斯消去法的應(yīng)用雷正紅(西安電子科技大學(xué),陜西西安710071)摘要:文章主要介紹了如何利用高斯消去法有效求解電路分析與設(shè)計(jì)中的線性代數(shù)方程組的方法關(guān)鍵詞:高斯消去瀆;線性代數(shù)方程姐;電路分析設(shè)計(jì)中田分類號(hào):TP368.文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1672-0520(2007)05-0027-03、引言數(shù)矩陣A中的各元素的數(shù)值相差懸殊,可能達(dá)到在工程領(lǐng)域里,在進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)時(shí),首10量級(jí)以上,這時(shí)候一般采用全選主元的高斯-先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,不同的領(lǐng)域建立的數(shù)學(xué)約旦消去法來(lái)求解系數(shù)矩陣為稀疏矩陣的大型方模型不同,也就是數(shù)學(xué)方程式的形式不同,自然求程組解方法(或算法)也不同二、解法在電路系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中,在進(jìn)行交流小信1、高斯消去法的基本思想號(hào)分析時(shí),所列的方程是線性代數(shù)方程,可以采用般形式的線性方程組為高斯消元法或LU分解法;對(duì)于直流非線性分析1+42x2+…+anxn=b所列方程是非線性代數(shù)方程,可以采用牛頓拉夫a1x1+ank2+…+a2xn=b2森方法選代求解;瞬態(tài)分析,所列方程是常微分方程,一般采用變步長(zhǎng)隱式積分法求解等等an1x1+an2x2+…+口mxn=b例如在電路的直流分析中,電容開(kāi)路,電感短通常用向量矩陣表示,則上述方程可寫成路,計(jì)算電路的靜態(tài)工作點(diǎn),在交流小信號(hào)分析Ax=b中,電路也先要進(jìn)行直流分析,以確定半導(dǎo)體器件a1a12的跨導(dǎo)等小信號(hào)參數(shù).在瞬態(tài)分析中,需求出電路在指定時(shí)間區(qū)間上的解,這時(shí)電路的方程是常微分4="na2…,b方程,求解常微分方程必須先求出電路儲(chǔ)能元件上的初始電流或電壓值,這也由直流分析來(lái)完成線性電路的直流分析所建立的方程是線性代數(shù)并記做A∈R",x,b∈R",分別表示A為nxn方程組,對(duì)于建立電路線性代數(shù)方程組的方法可以階實(shí)矩陣,x,b為n維實(shí)向量Gas消去法就是將應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法或改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法,也可以采用表矩陣法和方程組(1)通過(guò)(m-1)步消元,將(1)轉(zhuǎn)化為上雙圖法,這些方法都可以利用計(jì)算機(jī)自動(dòng)建立,如三角方程組果我們建立好了電路的代數(shù)方程組AXx,一般「q…4「巧1「4可以利用高斯消去法和LU分解法來(lái)解方程組,實(shí)啁…‖|際上對(duì)于稍大些的電路(n>40),建立的矩陣A是個(gè)稀疏矩陣,矩陣含有大量的零元素。并且電路系a][x」Lb(2)中國(guó)煤化工收稿日期:2006-10CNMHG作者簡(jiǎn)介:雷正紅(1971一)男,甘肅臨澤人,副教授,主要從事梟咸電路設(shè)計(jì)和數(shù)字信號(hào)處理工作雷正紅:高斯消去法的應(yīng)用再回代求此方程組的解綜上所述,高斯消去法分為消元過(guò)程與回代過(guò)下面記增廣矩陣[4]-[4即程,消元過(guò)程將所給方程組加工成上三角形方程組,再經(jīng)回代過(guò)程求解a oai[91嗎…網(wǎng)2.列主元素消去法首先,在A=A=(q)中的第1列選主元,即|a,1=max|al行為主元,若1>1,將A0|b0]的第行與第1行互換,再按消元公式第1步設(shè)q≠0計(jì)算l=1=2,3…,計(jì)算得到[A3|b]假定上述過(guò)程已進(jìn)行(k-1屬記為4=(4,…4),若用一剩[1607步,得到心1b1第k步,在A0中第k列選主元,i4>k,則[A)|b第一行加到第行,可消去a(=2,3,…,n),用中將與k行互換(若=k則不動(dòng)),再按公式cms變換矩陣表示=1+,=1-4(3、(4)求出[A…b4令[A|b]=l]=團(tuán)A1b]重復(fù)以上過(guò)程則得[A1b,如果某個(gè)k出現(xiàn)主其中=q-14,矽=2-h,j=2,元[A|b],如果某個(gè)k出現(xiàn)主元|4)=0(或≈0),方程沒(méi)有唯一解或嚴(yán)重病態(tài),否則可由一般地,假定已完成了(-1)步消元,即已將(5)求得解A0b0轉(zhuǎn)化為以下形式:3.全選主元高斯-約旦消去法a 42除列主元消去法外,還有一種消去法,是在A的所有元素a中選主元,稱為全主元高斯約旦消去法,它是一種在整個(gè)系數(shù)矩陣中選取主元的消)去法,高斯-約旦法(全選主元)求解線性代數(shù)方程組的步驟如下:首先,對(duì)于K從0到n-1作如下運(yùn)算:第k步,假定a≠0,計(jì)算全選主元從第K行、第K列開(kāi)始的右下角子陣l==,=+1,k+2…,n(3)中選取絕對(duì)值最大的元素,并記住次元素所在的行號(hào)和列號(hào),在通過(guò)行交換和列交換將它交換到主元記4=(0…0.4…,la),L4=I+le,素位置上,=Ⅰ-l4e,則[4“b)=[4“以b系數(shù)矩陣歸一化其中a(,/a(k,k)→a(,力,j=+1,…,n-1af+)=a)-ha,i,j=t+1,常數(shù)向量歸一化=b-l4φq(),讠=k+1…,nb(k,)/a(,k)→b(k,Dj=0,1,…,m-1;反復(fù)進(jìn)行上述過(guò)程,經(jīng)過(guò)n-1步消元,則可得系數(shù)矩陣消元(,)-呱(,k)·a(,門→a(,到[A|b0],即方程組(2),直接回代解(1i=0,,…,k-1,k+1,…n-l;j=k+1,…,n-1常數(shù)向量消元b()-a(i,k)b(k)→b(x=,x=(-∑x)/,k=m-1,山中國(guó)煤化工=0,m-1CNMHG所記錄的行、列交換的信息進(jìn)行恢復(fù),恢復(fù)的原則如下,在全選主河西學(xué)院學(xué)報(bào)2007年第5元過(guò)程中,先交換的行(列)后進(jìn)行恢復(fù);原來(lái)的值計(jì)算的穩(wěn)定性看,全選主元比部分主元法優(yōu)越,行(列〕交換用列(行)交換來(lái)恢復(fù)但計(jì)算工作量稍大4.源程序般來(lái)說(shuō)電路的系數(shù)矩陣通常是個(gè)稀疏矩陣,根據(jù)上面的算法編制程序.(省略)而且隨著電路規(guī)模的增加,矩陣的階數(shù)增高,稀疏、結(jié)論及思考程序也越大.例如,10個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路,系數(shù)矩陣非通過(guò)實(shí)驗(yàn),本算法采用雙精度字長(zhǎng)運(yùn)算,運(yùn)算零元素可能占50%左右;而100個(gè)節(jié)點(diǎn)的典型電路結(jié)果精確,具有很高精度中,非零元素僅占%左右,據(jù)統(tǒng)計(jì),對(duì)于多數(shù)實(shí)際在電路的分析設(shè)計(jì)中,求解線性代數(shù)方程組AX=B電路,其矩陣中的非零元素?cái)?shù)目在4m到6n之間(n一個(gè)基本問(wèn)題.無(wú)論是線性還是非線性電路,無(wú)為方程階數(shù))這個(gè)時(shí)候就的采用稀疏矩陣技術(shù)論是頻域分析還是時(shí)域分析,最終歸結(jié)為AX=B所以,充分利用電路方程的特點(diǎn),利用不同的在頻域分析中,每個(gè)頻率點(diǎn)要計(jì)算一次線性代數(shù)方方法高效求解代數(shù)方程組是非常有意義的.本文只程組;在非線性分析中,每選代一次要求解一次線介紹一些簡(jiǎn)單方法,實(shí)際應(yīng)用中,可以根據(jù)代數(shù)方性代數(shù)方程組;在非線性時(shí)域分析中,每個(gè)時(shí)間上程組的不同特點(diǎn)選用不同求解方法.比如如果A是都要進(jìn)行多次選代,在整個(gè)計(jì)算時(shí)間內(nèi)則需要成百一個(gè)n階對(duì)稱正定矩陣可以采用平方根法;有時(shí)候上千次地求解方程;蒙特卡諾統(tǒng)計(jì)分析和設(shè)計(jì)所需得到的系數(shù)矩陣為對(duì)稱但不正定可以采用改進(jìn)平方要求解方程組得次數(shù)就更多了,因此有效求解線性根法;如果A為三對(duì)角矩陣考慮采用追趕法;如果代數(shù)方程組是電路分析設(shè)計(jì)的一個(gè)重要問(wèn)題,直接變量個(gè)數(shù)較多,這個(gè)時(shí)候通常采用迭代法,系數(shù)矩影響電路設(shè)計(jì)分析的效率和質(zhì)量陣如果為按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,則可以采用雅可在電路的分析設(shè)計(jì)中,電路元件的電導(dǎo)值差異比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ǖ鹊群艽?電路方程系數(shù)矩陣A中各元素的數(shù)值相差懸殊.一般我們可以采用雙精度字長(zhǎng)運(yùn)算,其字長(zhǎng)是參考文獻(xiàn)單精度的2倍,由于字長(zhǎng)增加一倍,誤差的影響大宋國(guó)鄉(xiāng).數(shù)值分析隊(duì)M,西安:西安電子科技大學(xué)出版大減小,可以獲得足夠精確的解,不選主元的高斯社,200(5)消去法可能會(huì)給數(shù)值穩(wěn)定性造成很大的威脅,為了凹2來(lái)新泉.電路的優(yōu)化設(shè)計(jì)隊(duì)西安:西安電子科技大保證數(shù)值穩(wěn)定性通常采用列主元或全主元法,就數(shù)學(xué)出版社,2005(1【貴任編輯:周玉云中國(guó)煤化工CNMHG