第43卷第12期山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)2008年12月Vol 43Joumal of Shandong University( Natural ScienceDec,2008文章編號(hào):16719952(2008)1006105R粗積分蘇芬肖,陳保會(huì)(山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山東濟(jì)南250100摘要:基于文獻(xiàn)[1]提出的F粗積分概念,引入遷移信度β提出在遷移信度B條件下的粗積分,討論F粗積分與粗積分的關(guān)系,證明粗積分是F粗積分的推廣,F粗積分是粗積分的特例。關(guān)鍵詞:函數(shù)單向S粗集;F粗積分;遷移信度β;粗積分中圖分類號(hào):O159文獻(xiàn)標(biāo)志碼:AThe p-Rough integralSU Fen-xiao. CHEN Bao-huiSchool of Mathematics and System Science, Shandong University, Jinan 250100, Shandong, China)Abstract: Based on the concept of the F- rough integral proposed by Yu, the concept of the p-rough integral was given by em-ploying the transfer credibility degree B, the relation between the F-rough integral and the p-rough integral was discussed. It wasproved that the p-rough integral is a generalization of the F-rough integral, while the F-rough integral is a special case of the B-rough integralKey words: function one direction S-rough sets; F-rough integral: transfer credibility degree P; B-rough integral函數(shù)S粗集2是在Z. Pawlak粗集6的基礎(chǔ)上給出的,它由函數(shù)單向S粗集,函數(shù)雙向S粗集以及函數(shù)單向S粗集對(duì)偶3部分組成。函數(shù)S粗集具有動(dòng)態(tài)性,且其動(dòng)態(tài)性是通過函數(shù)遷移實(shí)現(xiàn)。函數(shù)單向S粗集(R,F)(Q),(R,F)(Q))是由于有Q之外的元素u完全遷移到了Q中去或Q=QU{v1v∈v∈Q,f()=u∈Q而生成的,文獻(xiàn)[1]基于函數(shù)單向S粗集提出F粗積分的概念,并給出F粗積分的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)∫():p(2)4):但是F粗積分(.(x)p(x)僅是在元素完遷移的意義下的粗積分,也就是說(p(x)d」p(x))僅是在靜態(tài)意義下的粗積分即在P=1(其中表示遷移信度)意義下的粗積分,那么在β∈[0,1)的情況下粗積分的結(jié)構(gòu)是否還是文獻(xiàn)[1】所給出的結(jié)構(gòu)回答是否定的在現(xiàn)實(shí)中,更多的事實(shí)說明:元素發(fā)生的遷移存在一定的隨機(jī)特征,文獻(xiàn)[]并沒有討論。本文在引人元素遷移信度的條件下提出粗積分的概念給出粗積分的一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(V,△),討論了2類粗積分的關(guān)系,并證明F粗積分(當(dāng)B=1時(shí))是粗積分的特例,粗積分是F粗積分的推廣。為了討論的方便與知識(shí)的完整性將F粗積分7在第1章簡(jiǎn)單介紹。1F2粗積分約定為了敘述方便在不引起誤解情況下,令P()x=m:(p(x)(x)dx=4:((x)收稿日期:20080829基金項(xiàng)目:山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)月(Y200mH0);海南省白然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(807054)作者簡(jiǎn)介:蘇芬肖(1981-),女,碩士,研究方向?yàn)橄到y(tǒng)聞?wù)撆c粗系統(tǒng),Fal: fernxiaosu@mi,sd,cdh,am山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)第43卷(∫P.(xdx」(x))(p(x),2p(x):函數(shù)等價(jià)類x)記(,函數(shù)a(),()記作u,v;函數(shù)論域x)記作多函數(shù)集Q(x)={u(x),u(x},…,u(x)叫}c多(x)記作Q={u1,24|c∫∈F是多上的函數(shù)遷移即彐v∈鳥∈Q→f(n)=a∈Q,F=1f1,,…,fn是身上的函數(shù)遷移族;q=QU{I∈鸚v∈Q,f(v)=u∈Q,Q={1∈多v∈Q,f)=u∈Q;(R.F)(Q)記作[uy={u1,2,…,4},(R,F)(q)記作[u]={a1,嗎2,…,u1},s≤to定義11給定函數(shù)論域身上的R函數(shù)等價(jià)類[u]={a1,a2,…,l,…,un},a'={a1,a2,…,a1}是它的屬性集,u1∈[u]具有離散數(shù)據(jù)分布l1={u1(1),u1(2),…,1(k),…,1(n+1)},這里i=1,2,m;將這m個(gè)函數(shù)合成并形成數(shù)據(jù)點(diǎn)(x1,y),(x2,y2),…,(x,y),…,(xn,yn,),其中,v。L4(k),u4(k)≥0,k=1,2,…,n+1。稱由 Lagrange.J.L插值公式形成的多項(xiàng)式函數(shù)p(x)=,立=2+,x+…-+x(2)是R函數(shù)等價(jià)類[u]生成的函數(shù)。由定義1.1記p.(x),p(x)分別是由[u]-,[u]生成的函數(shù)定義12稱Vp(x))是函數(shù)單向S粗集((R,F)(Q),(R,F)(Q)生成的下近似積分(lowapproximation integral)o定義13稱△a(p(x))是函數(shù)單向S粗集(R,F)、(Q),(R,F)(Q)生成的上近似積分(uperproximation integral)定義14稱((p.(x),△(p(x))是函數(shù)單向S粗集(R,F)(Q),(R,F)(Q))生成的F粗積分,簡(jiǎn)稱F粗積分(F- rough integral)定義15稱S=△(p(x))-V(p.(x))是函數(shù)單向S-粗集生成的F粗積分邊界帶。定義16稱F粗積分(va(p(x)),△(p(x))是(V(p-,(x)),△(p2(x))菱縮,也稱(v(p.(x),△(p2(x)是(V(p,(x)),△(p(x).的擴(kuò)張如果滿足:(p.(x)≤(p-a(x)且△(p(x)≤△a(n2(x),記作:(va(p,(x)),4(p1(x))≤(Va(p.2(x),△(p2(x))特別地當(dāng)(p,(x))=p(x))且△a(p1(x))=△(p2(x))時(shí),稱(v(p,(x),△(pi(x))與(v(p2(x),△(n(x)相等記作(V(p,(x)),△(p(x))=(p-(x)),△(p2(x)定理11(F粗積分雙中值定理)在區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(c,c-)使得等式(3)成立。(《p.(x),△(p(x)=(p.(c)(b-a),p(c)(b-a)命題1.1F粗積分是牛頓積分的推廣,牛頓積分是F粗積分的特例。2粗積分約定[u]=R.(Q)={u1,2,…,},k≤5,[u]=R(Q)={u1,u2,…,},l≤t;8.(x)8(x)分別是[u]和[u]生成的函數(shù);p.(x),p(x)分別是uy和u]生成的函數(shù)。[u],[u]是在沒有Q之外的元素a遷移到Q中的情況下,即在遷移信度β=0條件下,Q生成的下近似,上近似;[uy,[u]是在有Q之外的元素u完全遷移到Q中的情況下即在遷移信度B=1條件下,Q生成的下近似,上近似由以上分析知命題21當(dāng)有Q之外的元素u部分遷移到了Q中去時(shí),即在遷移信度∈(0,1)的條件下,一定有u].,[u]存在,其滿足:[u]c[u]-.c[uy,[u]s[a]s[u]這里:[u]-p,[u]分別表示由Q生成的下近似(R,F)(Q),上近似(R,F)(Q);也稱[u]-,是Q依第12期蘇芬肖等:B粗積分信度β生成的下近似簡(jiǎn)稱B下近似,[u]是Q依信度生成的上近似簡(jiǎn)稱上近似;Q表示有Q之外的元素a部分遷移到了Q中去即在遷移信度β∈(0,1)的條件下,生成的函數(shù)集其滿足:QQ。三Q。命題2.2任意給定月1,月∈(0,1),B1≤A2,存在[u]-,[u]n與[uJ,[aln滿足:[u].s[u]-.A[a]-.[uy,且[u]s[u][u[u]定義21稱△a]-.為u],的下增集若△[u]-,=[ux]-.\[u];稱△a]為u]的序上增集若A[u]=[u][u]顯然,當(dāng)日=1時(shí),[u]-.p=[u],[u]=[a];當(dāng)=0時(shí),[u]-.p=[a]-,u]=[u],△a]p=引理21設(shè)P1(x),P2(x)分別是[u]1,ul2生成的函數(shù),且[u]1c[u]2,則有不等式(4)成立。P1(x)≤P2(x)定理2.1當(dāng)β=1時(shí),則一定存在函數(shù)e(x)≥0,e(x)≥0,使得p(x)=0.(x)+E.(x)),(x)=0-(x)+c(x)成立。證明首先證明e.(x)≥0存在,當(dāng)B=1時(shí),[u]-,=[uy,又由于[u].c[ay,所以由引理21知θ(x)與p(x)滿足θ.(x)≤P(x),令ε(x)=p.(x)-0.(x),則E(x)≥0存在,且有p(x)=6.(x)+E.(x);同理可證ε^(x)≥0存在其滿足p(x)=0-(x)+ε^(x)。定理22設(shè)p(x)為u].p生成的函數(shù),p(x)為[u]2生成的函數(shù),當(dāng)∈(0,1)時(shí),則一定存在g(x)≥0,E(x)≥0,使得p(x)=0.(x)+e-,(x),P(x)=(x)+(x)成立。證明首先證明e-(x)≥0存在,由命題21知,[u]c[u]c[uy,所以由引理21知0.(x)與p,(x)滿足6.(x)≤P,(x),令Ep(x)=P,(x)-0.(x),則e,(x)≥0存在,且有p,p(x)=0.(x)+e.,(x);同理可證E(x)≥0存在且滿足P(x)=6(x)+e(x)定義22稱,(x)為x],的下增量函數(shù)若c,(x)=p,(x)-0.(x);稱(x)為u]的上增量函數(shù),若e(x)=p(x)-6(x);E,(x),ea(x)統(tǒng)稱為增量函數(shù)。定義23稱v(p,(x)是[u].生成的下近似積分簡(jiǎn)稱下積分;稱△(p(x))是u]生成的上近似積分,簡(jiǎn)稱B上積分。信度條件下生成的粗積分簡(jiǎn)稱粗積分。在不引起混淆的情況下簡(jiǎn)記(v,△)R,F)())在定義24稱積分對(duì)(V(p(x),△(p(x))是函數(shù)單向S-粗集((R,F)、(Q),(定義25稱S是函數(shù)單向S粗集(R,F)(Q),(R,F)(Q))在信度P條件下生成的粗積分邊界帶簡(jiǎn)稱邊界帶若S=△(p(x)-Vp.(x)定義2.6給定遷移信度月1,月2∈[01,2個(gè)不同的粗積分(V,4:),(V,A)4稱B粗積分(V,△)4是(四,△)4在信度條件下的萎縮也稱(V,△")是(V,△)在信度條件下的擴(kuò)張如果滿足:(V!)4≤(V且(4%≤(△:)簡(jiǎn)記:(可4)≤(,、"如果(=(v;且特別地稱(v,△)與(V,△2)相等,記作:(V,△2)=(V,△:)(4)=(4:)3粗積分與F粗積分的關(guān)系定理31vR1,B2∈[O,1,1≤2,設(shè)pn(x),p-,n(x)分別是[u]-n,[a]-,生成函數(shù),P兩(x),P再(x)分別是[ul,[ul生成函數(shù),則有不等式(5),6)成立P≤P-(xPA(x)≤P(x)。山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)第43卷證明由命題21和22知HR1,B2∈(0,1),月1≤R2,存在[u]-,,[a]與[u]l,[u滿足:[u].∈[u]-.A[u]-.鳥s[u],且[u]s[uliS[nl2s[u]’,又因?yàn)閜-,(x),P,鳥(x)分別是[u]-n,[ul-.生成的函數(shù),p1(x),P2(x)分別是[u]1,[a]l2生成的函數(shù),由引理2.1知,p(x)≤P-n1(x),PA(x)≤P(x)推論31VR1,2∈[0,1,R≤A2,則存在增量函數(shù)e-(x),e-,(x)滿足0≤c-,(x)≤e(x)推論32V月1,B2∈[0,1],月1≤月2,則存在增量函數(shù)E(x),(x)滿足0≤EA(x)≤E(x)推論3.1和3.2的證明由定理2.2與定理3.1直接得,證明略。定理32V月1≤2,B1,月2∈[0,1,設(shè)p-,(x),PA(x),分別是[u],[u1生成的函數(shù),p-,(x)p(x)分別是[u]-,[ul2在生成的函數(shù)則(7)(△pa(x)≤(△p(x)(8)證明由定理31知,pA(x)≤P-,4(x),p(x)≤P(x),利用牛頓積分的性質(zhì)知:(VPA(x)≤(v(x),(△n(x)≤(△:P(x),證畢。由定理3.1和3.2得:推論33設(shè)0≤A≤月≤2≤…≤月≤1,月∈[0,1,eA(x)是[u]-,的下增量函數(shù)0,1,2,…,m,則0≤ε.a(x)≤e.A(x)≤…≤E-.(x)≤…≤e-.(x)(9)推論34設(shè)0≤≤R1≤月2≤…”≤A≤1,∈[0,1,pP.A(x)是[u]-在信度月的條件下生成的函數(shù),讠=0,1,2,…m,則(vp.A(x)≤Vp-.(x))≤…≤(Vp.(x)≤…≤(Vp-,.(x)推論35設(shè)0≤用≤月1≤A2≤…≤An≤1,月∈[O,1],Ea(x)是[u]k的上增量函數(shù),=0,1,2m0≤c4(x)≤E(x)≤“≤(x)≤”≤E(x)(11)推論36設(shè)0≤R≤月1≤A2≤…≤R≤1,月∈[0,1,p(x)是[nl1在信度月的條件下生成的函數(shù),i=0,1,2,…m,則(△p(x)≤4:p(x)≤…≤(4.pn(x)≤"≤(△p(x)。推論37設(shè)0≤A≤月1≤月2≤…≤R≤1,月∈[0,1,Pn(x),P再(x)是[u]-,[a]在信度月的條件下生成的函數(shù),=0,1,2,…m,則(V,△)(13)推論38(v,△")pn1=(v(p.(x),△(p-(x)定理33(B粗積分的雙中值定理)給定遷移信度B∈[0,1],則在區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì),c)g使得等式(14),(15)成立。(v)p=p(c.)(b-a),(14)(△4)p=P(c-)(b-a)。(15)簡(jiǎn)記(V,△)g=(p(c.)(b-a),p(c)(b-a)證明由牛頓積分的中值定理可直接得。推論39給定遷移信度β∈[0,1],則區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c和一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(c-,c-)p,使得等式:pi(ce)-p,a(e)=p(c-)-p.,(c.)(或者p(c)-p(c-)=p.(c)-p.(c))成立。證明首先,證明給定遷移信度B∈[0,1],則在區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使得S=第12期蘇芬肖,等:B粗積分])d)?(-v(p.(c)](b-a)成立事實(shí)上,設(shè)p(x)=P(x)-p(x),由于p(x),P(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則P(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)根據(jù)牛頓積分的中值定理知,在區(qū)間[ab]上至少存在個(gè)實(shí)數(shù)c,使得S=Pp(c)(b-a)=[(p(c)-(p(c)](b-a)。其次,證明p(c)-p-,(c)=p(c-)-(p-,(c.)事實(shí)上由定理33知區(qū)間a,b]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(c,c)使得(v)=p,(c.)(b-a)且)g=pa(c)(b-a),所以S=(△2)。-(四)g=[p(c)-p.(e)(b-a)(17)將式(16)代人式(17)得[p(c)-p,p(c)](b-a)=[(p(e)-(pa(c))](b-a)。(18)化簡(jiǎn)得p(c)-p(c)=p(c)-p.(c.)(或者pi(c)-p(c-)=p-,(c)-p,(c.))證畢。推論310(e-,c-)an1=(c,c)。由定理3.1~3.3和推論3.1~3.10得命題31F-粗積分(當(dāng)B=1時(shí))是粗積分的特例B粗積分是F粗積分的推廣。4結(jié)語(yǔ)本文引入遷移信度β∈[0,1],發(fā)現(xiàn)在引入遷移信度β的情況下,文獻(xiàn)[1-7]提出的F粗積分(v(p.(x),△(p(x))是在元素確定遷移的意義下的粗積分也就是說(v(p.(x),△(p(x))僅是在靜態(tài)意義下的粗積分,即在β=1(其中P表示遷移信度)意義下的粗積分;針對(duì)遷移信度β∈[0,1的情況本文提出序粗積分的概念給出粗積分的一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(v,△),討論了2類粗積分的關(guān)系證明了F粗積分(B=1)是B粗積分的特例,P粗積分是F粗積分的推廣。參考文獻(xiàn)[1]于秀清,史開泉函數(shù)單向S粗集生成的F粗積分[門.山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2008,43(2):2934[2] 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