第8卷第5期2006年9月須面牌Sept. 2006分形理論王啟文(呼倫貝爾學(xué)院物理系,內(nèi)蒙古海拉爾區(qū)021008)摘要:本文介紹分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展現(xiàn)狀,讓初學(xué)者了解這一非線性科學(xué)中的又一角色在我們認(rèn)識(shí)復(fù)雜世界的思維過程中的重要性,讓我們再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到貫穿各個(gè)領(lǐng)域的非線性科學(xué)的研究中。關(guān)鍵詞:分形;混沌;分維;非線性中圖分類號(hào):O4155文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1671-9972(2006)05-005404大家知道,以經(jīng)典歐幾里德幾何為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)數(shù)我們周圍的許多不規(guī)則和支離破碎的形狀,并通過鑒別學(xué),研究的都是一些簡單化、規(guī)則化、模型化的東西。出一族我稱為分形的形狀,創(chuàng)立了相當(dāng)成熟的理論?！钡?奧妙、神奇的大自然展現(xiàn)給我們的往往都是復(fù)雜且具有不規(guī)則幾何形態(tài)的物質(zhì)世界,展示給我們的是奇妙的分形。如:圖-1和圖-2中的分形和混沌勾勒出了豐富多彩的真實(shí)世界。l2在非線性科學(xué)中,分形與混沌有著不同的起源,但它們又都是非線性方程所描述的非平衡的過程和結(jié)果正如分形理論的創(chuàng)立者芒德布羅(B. B Mandelbrot)在他的名著《大自然的分形幾何學(xué)》中開始就說:“為什圖-1蕨類植物的葉么幾何學(xué)常常被說成是‘冷酷無情’、‘枯燥乏味’的?原因之一在于它無力描寫云彩、山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體、山嶺不是錐體、海岸線不是圓周、樹皮并不光滑、閃電更不是沿著直線傳播的.。這些圖形的存在,激勵(lì)著我們?nèi)ヌ剿髂切┍粴W幾里得擱置在邊、被認(rèn)為是‘無形狀可言’的形狀,去研究‘無定形’的形態(tài)學(xué)。然而數(shù)學(xué)家們蔑視這種挑戰(zhàn),他們越來越多地選擇了、想出了種種與我們看得見或感覺得到的圖-2科赫雪花任何東西都無關(guān)的理論來逃避大自然。作為這個(gè)挑戰(zhàn)的回答,我構(gòu)思和發(fā)展了大自然的一種新的幾何學(xué)一分1.分形理論的產(chǎn)生與發(fā)展形幾何學(xué)。并在許多不同領(lǐng)域中找到了用途。它描述了分形理論是非線性科學(xué)研究中十分活躍的一個(gè)分支,它的研究對(duì)象是自然界和非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的不收稿日期:20060721責(zé)任編輯:王婷婷光滑和不規(guī)則的幾何形體。分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是分作者簡介:王啟文(1963-),男,蒙古族,呼倫貝爾學(xué)院物理系副形幾何。教授,主要從事大學(xué)物理的教學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理及非線性混沌分形理論的基本思想起源于20世紀(jì)初、發(fā)展于20理論的研究世紀(jì)60年代后。創(chuàng)立分形理論的代表人物為美國數(shù)學(xué)家、美國科學(xué)院院士芒德布羅(B.B. Mandelbrot)。1960的等邊三角形并挖去中間的一個(gè),如此分下去,最后所年,芒德布羅到哈佛大學(xué)去講課,發(fā)現(xiàn)自己硏究的經(jīng)濟(jì)得到的圖案便構(gòu)成一個(gè)無窮層次的自相似結(jié)構(gòu),稱為席模式中高低收入的分布圖與利塔沃經(jīng)濟(jì)中心大廈黑板爾賓斯基墊片或箭頭圖案。上的棉花價(jià)格變動(dòng)圖是一樣的,他不無怨氣地開玩笑說:“我的圖怎么能在做報(bào)告前就畫出來了呢?”,之后,他轉(zhuǎn)向?yàn)榉治雒迌r(jià)變化。他采用一種特殊的變換尺度的方式考察棉價(jià)變化的內(nèi)在序列,驚人地發(fā)現(xiàn)了:盡管棉價(jià)的每一次變好是隨機(jī)的,但價(jià)格的日變化和月變化的曲線竟然完全一致!這就是說,在大量的無序的數(shù)據(jù)里存在著一種出乎意料的有序。圖-4席爾賓斯基墊片芒德布羅又從“英國的海岸線有多長”的問題著手進(jìn)行研究,提出了一個(gè)驚人的論點(diǎn):任何一段海岸線都2.3.席爾賓斯基地毯( Sierpinski carpet);:如圖5是無限長的。雖然一條曲折的海岸線不能精確測量,但個(gè)正方形,等分為9個(gè)小正方形并挖去中間的一個(gè),把它卻有某種特征量,就是分形所揭示的分?jǐn)?shù)維數(shù),可以剩下的八個(gè)又這么處理,如此做下去,最后得到一個(gè)無對(duì)分形對(duì)象內(nèi)部的不均勻性、層次結(jié)構(gòu)性的整體數(shù)量特窮層次的自相似結(jié)構(gòu),稱為席爾賓斯基地毯。征進(jìn)行刻畫。分形的意義在于摸索自相似,自相似是跨越不同尺度的對(duì)稱性,圖案之中套圖案。1975年,芒德布羅用“分形”一詞囊括了其思想,相繼出版了杰作《分形對(duì)象——形、機(jī)遇和維數(shù)》、《分形——形、機(jī)遇和維數(shù)》、《大自然的分形幾何學(xué)》三本專著。在這些專著中,第一次系統(tǒng)地闡述了分形幾何的思想、內(nèi)容、意義和方法。這些專著的發(fā)表標(biāo)志著分形幾何作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科正式誕生。圖-5席爾賓斯基地毯1998年,研究幾何與混沌的麥克·馬倫獲菲爾茲獎(jiǎng)再一次說明了混沌、分形理論在科學(xué)研究領(lǐng)域的地位以上是人為的理想的自相似結(jié)構(gòu),在真實(shí)的宏觀世界中也能看到各種自相似結(jié)構(gòu)。當(dāng)然物體總是不可避免地受到環(huán)境的各種隨機(jī)的作用,這就使得所形成的自相似結(jié)構(gòu)不可能是嚴(yán)格規(guī)則的,只是大體上或統(tǒng)計(jì)意義上的自相似,這種分形稱為統(tǒng)計(jì)分形或無規(guī)分形。3453.分形與混沌的關(guān)系20世紀(jì)70年代,混沌和分形都處在草創(chuàng)階段,兩圖-3康托爾集者表現(xiàn)得風(fēng)馬牛不相及。當(dāng)時(shí),混沌理論只為少數(shù)專家學(xué)者所知,可混沌不是完全無序,它包含著豐富的內(nèi)部2.幾種理想的規(guī)則分形結(jié)構(gòu),可以出現(xiàn)所謂的奇怪吸引子,它有無窮層次的自2.1.康托爾集( Cantor set):如圖-3,這是康托爾于相似結(jié)構(gòu)。因此,混沌與分形應(yīng)該說有很深的內(nèi)在聯(lián)系。1883年首先提出來的一種一維空間中的自相似結(jié)構(gòu),取芒德布羅的理論并沒有提及混沌動(dòng)力學(xué)本身,但這些著一直線段(0,1),把它分為3等分,然后去掉當(dāng)中一作中包含許多與混沌直接相關(guān)聯(lián)的論題,如流體湍流和段,對(duì)留下的每一段又三等分并去掉其中間一段,如此宇宙的大標(biāo)度結(jié)構(gòu)。或許最基本的分形結(jié)構(gòu)就是奇怪吸不斷地做下去,留下的所有線段就構(gòu)成了所謂的康托爾引子所顯露的客體,所以現(xiàn)在習(xí)慣把奇怪吸引子定義成集。顯然康托爾集構(gòu)成了一個(gè)無窮層次的自相似結(jié)構(gòu)分形吸引子。于是 Hausdorff發(fā)明的分維被芒德布羅發(fā)2.2.席爾賓斯基墊片( Sierpinski gasket):如圖-4,取現(xiàn)并利用,成為描述吸引子結(jié)構(gòu)的一個(gè)定量特征參數(shù)。一個(gè)等邊三角形,將其分割為4個(gè)大小相等的等邊三角因而如今在科學(xué)中分形以兩種不同的方式出現(xiàn):作為研形并挖去其中間的一個(gè),對(duì)剩下的三個(gè)又各分為4個(gè)小究不規(guī)則過程和形式的一種描述性工具;作為內(nèi)在混沌動(dòng)態(tài)的一種數(shù)學(xué)推論數(shù)系統(tǒng)( Iterated Function System,簡稱IFS)出發(fā),可混沌表示的不是無序和混亂,而是某種不規(guī)則性定義(隨機(jī))移位動(dòng)力系統(tǒng),而移位動(dòng)力系統(tǒng)正是一個(gè)更像是沒有周期性的次序。因此,混沌和分形是數(shù)學(xué)兄混沌動(dòng)力系統(tǒng)。所以,如果把混沌廣義地看作是具有自弟,它們都與不規(guī)則結(jié)構(gòu)斗爭得難解難分。在它們中間,相似的隨機(jī)過程和結(jié)構(gòu),則分形也可看作為一種空間混幾何想象至關(guān)重要,混沌運(yùn)動(dòng)的高度無序和混亂性反映沌。反之,混沌運(yùn)動(dòng)具有在時(shí)間標(biāo)度上的無規(guī)自相似性在分形的無窮復(fù)雜性上。奇怪吸引子是混沌運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)它也可以看作是時(shí)間上的分形。即分形是空間上的混過長時(shí)間之后所形成的終極形態(tài),沒有明顯規(guī)則和次沌,而混沌是時(shí)間上的分形序,由許多回轉(zhuǎn)曲線構(gòu)成,不同層次間存在自相似性,所以,分形是描述混沌運(yùn)動(dòng)的一種幾何語言。不過幾何4.分形維數(shù)學(xué)在混沌中附屬于動(dòng)力學(xué)而在分形里則居統(tǒng)治地位。如維數(shù)是空間和客體(集合)的重要幾何特征量。如:果說分形幾何為吸引子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)很實(shí)用相空間的維數(shù)就是描述動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需要的變量個(gè)的語言,那么,混沌運(yùn)動(dòng)則被認(rèn)為是產(chǎn)生分形結(jié)構(gòu)的根數(shù)或自由度數(shù)。而在吸引子中,維數(shù)則說明了該吸引子源之一。所以混沌和分形有著密切的聯(lián)系。中點(diǎn)的密集程度或刻畫它所必需的信息量。芒德布羅推在非線性科學(xué)中,混沌和分形有著不同的起源,但廣了維數(shù)概念、得到了分形維數(shù)簡稱分維( fractal它們又都是非線性方程所描述的非平衡過程和結(jié)果,這 dimension),其定義有多種,現(xiàn)簡介如下:表明它們有著共同的數(shù)學(xué)祖先—?jiǎng)恿ο到y(tǒng)。4.1.拓?fù)渚S數(shù)分形起源于對(duì)不規(guī)則集合的研究(如:彎彎曲曲的在經(jīng)典幾何學(xué)中,維數(shù)是形體的一個(gè)重要特征量,海岸線、凸凹不平的路面等自然物的表面幾何形狀,數(shù)即為了確定幾何形體的每一個(gè)點(diǎn)在空間中的位置所需學(xué)中處處連續(xù)而不可微的函數(shù)等“邏輯怪物”或“病態(tài)”要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。在平直的歐氏空間里,形體的維函數(shù),這些都屬于不規(guī)則點(diǎn)集);混沌則起源于對(duì)非線數(shù)是顯然的:點(diǎn)是零維的;線是一維的;面是二維的;性動(dòng)力學(xué)的研究,即混沌是研究非線性確定性方程所具體是三維的。對(duì)點(diǎn)、線、面、體這樣的幾何形體在連續(xù)有的內(nèi)在隨機(jī)性在時(shí)間上的非周期過程。簡單地說,分拉伸、壓縮、扭曲等形變下,其對(duì)應(yīng)的維數(shù)是不變的、形來自于對(duì)幾何學(xué)的研究,而混沌則產(chǎn)生于對(duì)物理學(xué)的是正整數(shù),我們稱此維數(shù)為拓?fù)渚S數(shù)。研究4.2.豪斯多夫維數(shù)它們又具有類似性。混沌主要研究非線性動(dòng)力學(xué)系測量一個(gè)幾何形體大小所得到的數(shù)值N與形體維統(tǒng)的不穩(wěn)定的發(fā)散過程,但系統(tǒng)狀態(tài)在相空間中總是收數(shù)(拓?fù)渚S數(shù))和測量的標(biāo)度(長度單位)1有密切關(guān)斂于一定的吸引子,這與分形的形成過程十分相似。因mN(2,若1足夠小,則上式與此,若說混沌主要研究非線性系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)間上演化過程的行為特征,那么分形則主要研究吸引子在空間上的無關(guān)。這對(duì)任何大小和形狀的幾何體都成立。對(duì)通常的結(jié)構(gòu)?；煦邕\(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性與初始條件無關(guān);而分形結(jié)構(gòu)幾何體而言,d是整數(shù)。1919年,德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫的具體形式或其無規(guī)則性卻與初始條件有著密切的關(guān)( FHausdorff)認(rèn)為,可以把上式推廣到維數(shù),則d不系?；煦缥优c分形都具有自相似性,所以二者是從一定取整數(shù)。人們便將此定義的維數(shù)d稱為豪斯多夫不同側(cè)面來研究同一個(gè)問題的。維數(shù)( Hausdorff dimension),并記作dn,即從理論上說,動(dòng)力系統(tǒng)既與混沌存在著一定的關(guān)In N(l)系,又與分形有著密切的聯(lián)系。動(dòng)力學(xué)與混沌的關(guān)系是動(dòng)力系統(tǒng)存在混沌必須滿足三個(gè)條件,即對(duì)初始條件的4.3.容量維數(shù)敏感依賴性、具有拓?fù)鋫鬟f興致、周期點(diǎn)的稠密性。這豪斯多夫維數(shù)的式子是以被測幾何體的容量大小三個(gè)條件正對(duì)應(yīng)著產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的三個(gè)條件,即不可預(yù)進(jìn)行分析計(jì)算的,因此通常叫做容量維數(shù)( capacity測性、不可分解性及有一定的規(guī)律成分。對(duì)初始條件的 dimension),可記作d,又稱盒維數(shù)( box dimension敏感依賴性在動(dòng)力系統(tǒng)中表現(xiàn)為其長期行為的不可預(yù)或 boxcounting dimension),記作db測性;拓?fù)鋫鬟f性表明,動(dòng)力系統(tǒng)不可能被分解成兩個(gè)4.4.相似維數(shù)( similarity dimension)或幾個(gè)互不影響的子系統(tǒng);周期點(diǎn)的稠密性表明,動(dòng)力設(shè)幾何體的體積壓縮比為k,線度壓縮比為λ,幾何系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌并非完全無序,而是有一定的規(guī)律成體的維數(shù)為d,則它們之間的關(guān)系是分。動(dòng)力系統(tǒng)與分形的關(guān)系在于:從生成分形的迭代函將這一概念推廣應(yīng)用于分形,由于分形的自相似的山脈、蜿蜒曲折的江河、彎彎曲曲的海岸線、天空中性,線度變小(縮小)仍將得到與原分形體相似的子集。變化無窮的積云、漫天飛舞的雪花、郁郁蔥蔥的森林、設(shè)此分形體是由k個(gè)與之相似的不相交子集所組成,于材料無規(guī)則的裂紋等等,這些都是變化無窮的曲線。雖是推廣上式可得然它們處處連續(xù),但并不處處可微,顯然傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)已經(jīng)無法用來描述它們。因此,這類幾何客體往往被排斥在研究對(duì)象之外,并稱之為“病態(tài)”客體,從而使經(jīng)典d3是與此分形體的結(jié)構(gòu)有關(guān)并有維數(shù)特征的特征量,數(shù)學(xué)陷入了危機(jī),于是分形幾何便應(yīng)運(yùn)而生。分形概念稱為相似維數(shù)。產(chǎn)生后,許多自然界中的復(fù)雜現(xiàn)象及問題得到了很好的除了以上維數(shù)外,還有標(biāo)度關(guān)系、多重分形等關(guān)于解釋。如用分形理論研究湍流和相變、研究中醫(yī)病理、分形結(jié)構(gòu)的描述。在此就不再一一講述。6n研究癌變機(jī)制、研究地震預(yù)報(bào)、硏究高分子凝膠等等,對(duì)此,傳統(tǒng)理論一直感到困惑,但有了分形理論后,這5.分形研究的意義些問題便有望得到解決。特別是越混亂、越無規(guī)則、越現(xiàn)在,分形理論已應(yīng)用到了各個(gè)領(lǐng)域,人們已提出復(fù)雜的領(lǐng)域,分形理論越能顯示出其有效性,因此有人了自然分形、時(shí)間分形、空間分形、社會(huì)分形、思維分稱它是“反常科學(xué)”。它從另一極端對(duì)傳統(tǒng)科學(xué)提出了形等概念。其重要意義如下嚴(yán)峻的挑戰(zhàn),同時(shí)又給傳統(tǒng)科學(xué)提供了天然的彌補(bǔ)和深第一,分形理論沖破了整體與部分之間的隔膜,找刻的啟示。到了從部分過渡到整體的媒介和橋梁,即整體與部分之間的信息“同構(gòu)”。第二,分形理論的提出,轉(zhuǎn)變了人們傳統(tǒng)的思維方參考文獻(xiàn)法,認(rèn)識(shí)到整體與部分之間的關(guān)系可由線性進(jìn)展到非線王啟文,陳紹英,混沌研究點(diǎn)滴[,呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào),2005(6性的階段,且它與系統(tǒng)論還能共同揭示整體與部分之間2]陳紹楹,王啟文,分形理論及其應(yīng)用J.呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報(bào)的多層次、多視角、多維度的關(guān)聯(lián)方式。2005(2)第三,分形理論為人們提供了一種認(rèn)識(shí)世界的新的(3]劉秉正,彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)[M.北京:高等教育出版社,方法論,進(jìn)而為人們提供了從部分中認(rèn)知整體,從有限中認(rèn)知無限的可能和依據(jù)4]黃潤生,混沌及其應(yīng)用[M,武漢:武漢大學(xué)出版社,2000第四,分形理論的提出進(jìn)一步豐富和深化了唯物辯5]郝柏林,混沌與分形——郝柏林科普文集[M.上海:上?？谱C法關(guān)于普遍聯(lián)系和世界統(tǒng)一性的原理,它與混沌理論技出版社,2004起構(gòu)成了非線性科學(xué)的重要基礎(chǔ)。896](美)EN洛侖茲,混沌的本質(zhì)[M,北京:氣象出版社,19977]李淅生,倏忽之間—一混沌與認(rèn)識(shí)M,北京:冶金工業(yè)出盡管經(jīng)典幾何所研究的對(duì)象是規(guī)則而光滑的幾何形狀,如一條幾何曲線總是處處連續(xù)且處處可微,然而,8]苗東升,劉華杰,渾沌學(xué)縱橫論[M.北京:中國人民大學(xué)出自然界中往往存在著千姿百態(tài)的自然形狀,如起伏不平版社,1992.Fractal TheoryWang Qi-wen( Hulunbeier College Physics Department, Hailaer, Neimenggu, 021008, ChinaAbstract: The article introduces the formation and development situation of the fractal theory, in order to let beginnersknow it is a new part of the nonlinear science and its importance in understanding the process of thinking in such acomplicated world. We could see the chaos of nature again. Hope more aspiring young people join the research of thenonlinear science which runs through various fieldsKey words: fractal; chacfractal dimensionnonlinear