第33卷第2期湖北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol.33 No.2_2011年6月Journal of Hubei University( Natural Science)Jun，2011文章編號:1000 - 2375(2011)02 -0136 -03最優(yōu)化的量子操作楊濤,徐國旺,閆旭東(湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430068)摘要討論物 理系統(tǒng)在不同的正交態(tài)之間演化所需要的時間.首先討論了兩能級系統(tǒng),隨后進(jìn)一步討論多能級系統(tǒng).發(fā)現(xiàn)對多能級系統(tǒng)而言,在任意兩個正交態(tài)之間演化的時間是兩能級系統(tǒng)的2倍.這有利于在量子調(diào)控時,進(jìn)行最優(yōu)化的量子操作.關(guān)鍵詞正交態(tài);最優(yōu)化;量子操作中圈分類號0413. 1文獻(xiàn)標(biāo)志碼A量子調(diào)控是目前量子信息領(lǐng)域的前沿?zé)狳c(diǎn)問題之一.對于一個孤立的物理系統(tǒng),如何確定量子系統(tǒng)態(tài)的數(shù)目,以及孤立系統(tǒng)從一個態(tài)演化到另外一個可區(qū)分態(tài)需要多長時間,是量子調(diào)控必須回答的問題.在一般的考慮下,這是兩個獨(dú)立又相關(guān)的問題.首先,考慮在給定的物理限制下,系統(tǒng)可能處于多少個可區(qū)分態(tài)上,這是一個古老的問題,關(guān)于可區(qū)分態(tài)的數(shù)目的計算直接導(dǎo)致普朗克常數(shù)引人到實(shí)際的物理學(xué)中,而且同時也是統(tǒng)計力學(xué)的基礎(chǔ)口這個問題可以直接從量子力學(xué)中找到答案,也可以通過計算宏觀極限下系統(tǒng)可達(dá)到的相空間的體積來找到答案2.本文中討論系統(tǒng)從一個可區(qū)分態(tài)到另外一個可區(qū)分態(tài)演化所需要的時間,并且討論系統(tǒng)在單位時間內(nèi)歷經(jīng)的最大可區(qū)分態(tài)的數(shù)目.這和量子調(diào)控中單位時間內(nèi)可操作數(shù)目密切相關(guān).對一個量子系統(tǒng)而言,可區(qū)分態(tài)的概念很好定義,即如果兩個態(tài)是正交的,它們就是可區(qū)分的.量子態(tài)演化所需時間在以前文獻(xiàn)中已經(jīng)有相關(guān)的報道[3-8] ,但是并沒有給出一個確切的結(jié)果.特別地,一- 個量子系統(tǒng)從一個正交態(tài)演化到另外一個正交態(tài)所需要的最少時間以前也已經(jīng)用能量的方差來確定[~7].在本文中,將直接用系統(tǒng)的平均能量給出一個普適的下限.而且,對-一個宏觀系統(tǒng)而言,增加能量就意味著系統(tǒng)正交態(tài)之間的演化速率正比例地增加了.1動力學(xué)演化的最大速率這一部分簡要分析一個量子系統(tǒng)演化的速率.在能量基上,量子時間演化能夠通過頻率分量的疊加來描述.這樣容易知道,給定一個最大的能量本征值,態(tài)演化的頻率應(yīng)該遵從關(guān)系式: v≤hne (1如果取系統(tǒng)基態(tài)的能量為零,并考慮長時間的演化,那么正如下面所討論的,這個關(guān)系式是正確的.此外,給定系統(tǒng)的平均能量E,有一個類似的關(guān)系式:v≤E(2)這里再次取基態(tài)的能量為零.關(guān)系式蘊(yùn)涵如下物理意義:使用適當(dāng)?shù)膯挝?一個宏觀系統(tǒng)的平均能量數(shù)值上等于單位時間內(nèi)系統(tǒng)演化經(jīng)過的正交態(tài)數(shù)目.這也是系統(tǒng)長時間演化的最大速率,其值是系統(tǒng).在兩個態(tài)之間震蕩頻率的2倍.2正交態(tài)演化需要的時間這-部分將討論一個給定的物理系統(tǒng)從一個任意的狀態(tài)演化智門中國煤化工需要的最少的收稿日期: 2010-07 -20TYHCNMHG作者籬介:楊濤(1962 -),男,副教授;閆旭東,通信作者,教授,E-mail:yxdyxd2010@163. com.第2期楊濤等:最優(yōu)化的量子操作137時間. .任何一個量子態(tài)都可以寫為其能量本征態(tài)的疊加:|ao>= Ec|E.>(3)這里以及整篇文章都將假定系統(tǒng)有離散的能譜,并且態(tài)已經(jīng)被標(biāo)記，即相應(yīng)于能量本征態(tài)的{| E,>}的能量本征值{E,}是遞減的.為了簡化計算,仍選取基態(tài)的能量為零,即E, =0.取t為態(tài)|ao)演化到其-一個相應(yīng)的正交態(tài)的時間.以下將證明,對一個固定的平均能量,時間t遵循如下的關(guān)系式:t≥4E(4)這個結(jié)果某種程度上令人驚奇,因?yàn)橄惹暗慕Y(jié)果給出關(guān)系式是以能量方差描述的: t≥4AE (5這暗示著如果給定平均能量,為了獲得非常短的演化時間必須要求非常大的能量方差.下面將證明情況并不是這樣的.首先態(tài)(3)演化--段時間Ot后,相應(yīng)的態(tài)變?yōu)?|aw)= Ec.eA |E,)(6)現(xiàn)在計算Q(Ot)= =1c。|'e畢(7)想要找到最短的時間Ot使得Q(Ot) = 0.注意到:Re()= .100(54)≥21+.*(1--(5*=+(i(5))=1- 0sr+ Im(Q) (8)這里使用了不等式cos(x)≥1- 2(x+ sin(x)),僅對x≥0有效.注意到對I的任意值,只要Q(0t)=0，4EAt(9)就有Re(Q) = 0,Im(Q) = 0,因此方程(8)可以化簡為: 0≥ 1-工 p因此系統(tǒng)從態(tài)(3)演化到其-一個正交態(tài)所需要的最短時間為Ot = h/4E,方程(4)獲得證明.3正交態(tài)的循環(huán)在上一部分已經(jīng)知道,給定平均能量E的量子系統(tǒng)在兩個正交態(tài)之間演化的最短時間為h/4E.現(xiàn)在,我們計算-一個量子系統(tǒng)演化經(jīng)過N個正交態(tài)所需要的時間.在這-部分,將證明任何的演化經(jīng)過N個相互正交的態(tài)的循環(huán)所需要的時間為t≥NE(10)從這個式子可以看出,對形成封閉循環(huán)的長時間演化,兩個正交態(tài)之間的演化時間將較(4)式增長一倍. .注意到周期條件對組成初態(tài)的能量本征函數(shù)給了一個嚴(yán)格限制.如果| E,)貢獻(xiàn)給初態(tài)|ao),循環(huán)時間長度為r,那么一-定有E,t/h=2xk, ,這里k,是整數(shù).簡化記號,有E,=k;e1,這里e1= h/t.這樣,最初的態(tài)可以表示為|ao> = 2c, |nei)(11)雖然描述并不包括簡并的情況,但是簡并的情況也符合本文中的討論.假設(shè)t=r/N是連續(xù)正交態(tài)之間的間隔.注意到et/h=2π/N,那么,m次時間間隔后，可以得到 =21c, |e=m(12)令|d,|= 2 |cr+N |2 是所有系數(shù)的求和,那么 =21d,|e-賀(m-m)=8mm (13)上式最后一步是因?yàn)檫@些態(tài)是正交的.注意到,如果所有的n都有|d.|' = 1/N,那么上式最后一個等號滿足.現(xiàn)在計算平均能量和正交演化時間之間的關(guān)系.一般的平均中國煤化工Cn+IN 1nT lNVTCHCNMH G(14)E=e21.湖北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第33卷但由于2|cr+N |'(n+lN)≥2 |Ce+IN |'n=n|d,1",并且|d,|°= 1/N,于是有(15)點(diǎn)六-.(N2=)由于e: = h/τ= h/Nt ,這個可以直接導(dǎo)出關(guān)系式(10).注意到如果所有的系數(shù)c,對n≥N都為零,那么上面的不等式變?yōu)榈仁?因此對態(tài),三六| nεl>(16)方程(10)可以取等號,也就是可以以最短的時間演化.4總結(jié)本文中討論量子系統(tǒng)在正交態(tài)之間的演化所需要的時間.對于兩能級系統(tǒng),證明演化所需要的時間跟系統(tǒng)的平均能量有關(guān),同時也證明系統(tǒng)在多個正交態(tài)上演化所需要的時間，而且發(fā)現(xiàn)對多能級系統(tǒng)，長時間演化導(dǎo)致平均在兩個正交態(tài)之間演化所需要的時間是兩能級的2倍.這對于尋找量子系統(tǒng)的最優(yōu)化的調(diào)控方式,具有重要的理論價值.參考文獻(xiàn):[1] Klein M J, Planck. 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Wfound that the time needed between any two orthogonal states for the system with many energy levelswas double that needed by the system with two energy levels. The results were important for optimaloperation on a quantum system.Key words orthogonal states; optimal ;quantum operation(責(zé)任編輯趙燕)中國煤化工MHCNMH G.