第29卷第1期徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版2014年3月VoL 29 No. 1Journal of Xuzhou Institute of Technology ( Natural Sciences Edition)Mar.2014蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真李澤彬,黃濟(jì),黃雷,汪明珠,姚有峰(皖西學(xué)院傳感網(wǎng)與信息處理綜合應(yīng)用實(shí)驗(yàn)室,安徽六安237012)摘要:基于蔡氏電路和蔡氏二極管電路,構(gòu)建蔡氏電路數(shù)學(xué)模型,利用仿真和數(shù)值計(jì)算給出雙渦卷吸引子的相圖、時(shí)域圖和頻譜圖,并分析在平衡點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)特性.研究結(jié)果表明:在一定參數(shù)和初值的條件下,可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子,且蔡氏電路輸出波形是非周期的、不可以預(yù)測的,對(duì)初值具有敏感性,其頻譜是連續(xù)的關(guān)鍵詞:混沌;蔡氏電路;動(dòng)力學(xué)中圖分類號(hào):TP391.9文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1674-358X(2014)01-0036-06混沌是自然界客觀存在的一種運(yùn)動(dòng)形式,其系統(tǒng)具有對(duì)初值特別敏感性,即初始值的微小差別經(jīng)過一段時(shí)間后可以導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程的顯著差別.1983年,美國加州大學(xué)的蔡少棠教授與日本棗島田大學(xué)進(jìn)行學(xué)術(shù)交流時(shí)發(fā)明了蔡氏電路.蔡氏電路是非線性電路中能產(chǎn)生豐富復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的最簡單、最有效的電路口.目前,蔡氏混沌電路廣泛地應(yīng)用在混沌控制、傳感器應(yīng)用、混沌同步及保密通信等諸多領(lǐng)域2,因此很多學(xué)者對(duì)蔡氏混沌電路進(jìn)行了有意義的討論和研究60,但多數(shù)在研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為時(shí)不夠深入基于此,從電路構(gòu)成人手,建立數(shù)學(xué)模型,并利用 Multisim軟件仿真和 Matlab軟件數(shù)值計(jì)算對(duì)特定參數(shù)下的蔡氏混沌電路做了進(jìn)一步研究和探討這一工作對(duì)開展蔡氏混沌電路在各領(lǐng)域中應(yīng)用起到了基礎(chǔ)性理論指導(dǎo),具有較高的實(shí)踐意義,蔡氏電路模型蔡氏電路是一種物理結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型簡單的混沌系統(tǒng),如圖1所示.該電路使用3個(gè)儲(chǔ)能元件(電感L、兩個(gè)電容C1和C2)、一個(gè)線性電阻R和一個(gè)非線性電阻Nk(蔡氏二極管).其中非線性電阻NB是核心元件,其實(shí)現(xiàn)方式很多這里采用 Kennedy于1993年提出的方法由2個(gè)運(yùn)算放大器和6個(gè)電阻組成1,如圖2所示對(duì)圖2蔡氏二極管電路模型進(jìn)行 Multisim仿真.其中,6個(gè)電路取值為R1=3.3kg,R2=22k0,R322k,R4=2.2kΩ,R=2209,R5=2200;運(yùn)算放大器采用TL082.對(duì)蔡氏二極管電路模型進(jìn)行伏安特性分析,并將所得數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)值擬合得到伏安特性曲線,如圖3所示L C2TCi圖1蔡氏電路模型圖2非線性電阻NR電路模型收稿日期:2013-09-12基金項(xiàng)目:安徼省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目(KJ2010A323);安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(K2013A262)六安市定向委托皖西學(xué)院市級(jí)研究項(xiàng)目(2012LW006,2012LW007,2013LWoo9)中國煤化工作者簡介:李澤彬(1979—),男,安徽六安人,講師,碩士,主要從事非線性電路與微弱信號(hào)檢CNMHG李澤彬,等:蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真由伏安特性曲線可以看出數(shù)據(jù)分布存在負(fù)電阻區(qū)域和正電阻區(qū)域,由于運(yùn)算放大器TL082采用士9V電源供電,使得負(fù)阻的輸出電壓有一個(gè)限值,當(dāng)超過此限值之后,整個(gè)負(fù)阻就表現(xiàn)出正電阻的性質(zhì)了0.001由于正阻區(qū)基本處于電路產(chǎn)生混沌現(xiàn)象時(shí)001的工作區(qū)段之外所以可以認(rèn)為其影響極小,理論分析和模擬都可以忽略正阻部分.01從圖3中可以看出蔡氏二極管的伏安特性4.001曲線具有分段線性特點(diǎn),其函數(shù)形式可寫為f(ua)= GUci (G- Gb)0.003(uc +Eal-uci-eal)(1)MyR/V由 Kirchhoff電流定律(KCL)和Kirchhoff電壓定律(KVL)得到蔡氏電路圖3蔡氏二極管的伏安特性曲線的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程為Ci x duc/dt= G(ua -ua)-f(uc)C2×dvc/dt=G(u-a+i),(2)L×diL/dt其中函數(shù)f(uc)是由蔡氏二極管的伏安特性曲線來決定的為了研究方便,取x=va,y=uea,z=Ra/C2,r=t/RC2,a=GR,b=GR,a=C2C,B=R2C2/L,將式(1)、(2)變換為標(biāo)準(zhǔn)形式:dy/drzdz/dr==-Bybr ta-b x>1,f(r)x|≤1bx<-1,在式(3)、(4)中,a與B、a與b的變化,反映了電路中元件參數(shù)的變化情況2蔡氏電路動(dòng)力學(xué)分析與仿真2.I平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析將式(3)寫成線性方程:0110(5)B 0令X=(x,y,z)T,平衡態(tài)時(shí)有X=0,即+f(r)0(6)x+z=0根據(jù)式(4)、(6)R3的3個(gè)子空間中國煤化工CNMHG徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)014年第1期D1={(x,y,z)|x>1D={(x,y,z)||x|≤1中都有唯一的平衡點(diǎn),分別是P+=(k,0,-k)∈DO=(0,0,0)∈D,k,0,k)∈D其中k=(b-a)/b+1式(3)在每個(gè)子空間中,都為線性方程,把系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)處線性化得到 Jacobi矩陣,即a(1+c)其中c=b(x>1,x<-1)這里電路參數(shù)取a=10,B=15.68,a=-1.2768,b=-0.6888令det(J-AE)=0,則平衡點(diǎn)P+和P處對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程為3.11210可求得其特征值為λp=-4.5418,σ,土ja,=0.2149士3.2707.方程的3個(gè)根中,有1個(gè)負(fù)實(shí)根和2個(gè)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根,所以平衡點(diǎn)P+和P是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)平衡點(diǎn)O處對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程為2.768100可求得其特征值為入o=3.8890,0±ja0=-1.0605±3.1679i方程的3個(gè)根中,有1個(gè)正實(shí)根和2個(gè)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根,所以平衡點(diǎn)O是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).系統(tǒng)的3個(gè)平衡點(diǎn)均為不穩(wěn)定的,因此選擇合適的參數(shù)蔡氏電路會(huì)出現(xiàn)混沌.2.2耗散性和吸引子的存在由于v=2+9y+0z(1+c)-1,c=b(x>1,x<-1),c=a(x≤1),當(dāng)c=b時(shí),vV<0,即系統(tǒng)(3)是耗散的,且以指數(shù)形式V=-a(1十b)V收斂.這說明,當(dāng)t→∞時(shí),包含系統(tǒng)軌跡的每個(gè)體積元以指數(shù)a(1+b)收縮到0.所以系統(tǒng)最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為0的集合上,且會(huì)漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)固定在一個(gè)吸引子上,說明了吸引子的存在性2.3 Lyapunov指數(shù)和 Lyapunov維數(shù)Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的最常見方法.它能夠定量地描述動(dòng)力系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道的發(fā)散程度,若動(dòng)力系統(tǒng)在一定區(qū)域內(nèi)的第1個(gè) Lyapunov指數(shù)A1>0,則動(dòng)力系統(tǒng)在這個(gè)區(qū)域上會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象,并且對(duì)于初值是敏感的在平衡點(diǎn)處的局部區(qū)域內(nèi)計(jì)算系統(tǒng)(3)的第1個(gè) Lyapunov指數(shù),可以得到:A1>0.283,因而蔡氏電路的運(yùn)動(dòng)處于混沌狀態(tài).其系統(tǒng)(3)的 Lyapunov維數(shù)為Σλ;=2入1+A=2.13,由此可見,系統(tǒng)(3)的 Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維,驗(yàn)證了蔡氏電路會(huì)出現(xiàn)混沌2.4蔡氏電路仿真2.4.1 Multisim仿真在蔡氏電路中電感器L和電容器C組成一個(gè)損耗可以忽略的訓(xùn)H中國煤化工CNMH容器C1組成李澤彬,等:蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真?zhèn)€移相電路.取參數(shù)C1=10nF,C2=100nF,L=18mH,R=1.68k,對(duì)其電路進(jìn)行 Multisim仿真,即從LC諧振回路中引出一個(gè)信號(hào)輸入到虛擬數(shù)字示波器A通道,再從RC移相回路中引出一個(gè)信號(hào)輸人到虛擬數(shù)字示波器B通道,將兩個(gè)通道的信號(hào)合成得到合成的李薩如圖.電路仿真得到ua-uc相圖和時(shí)域圖,如圖4所示結(jié)果表明:在上述參數(shù)情況下出現(xiàn)雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象,時(shí)域波形表現(xiàn)出非周期的、不可預(yù)測性(b)“e2時(shí)域波形a)ue2-ae相圖(c)#e1時(shí)域波形圖4ucn-uc相圖和時(shí)域圖對(duì)蔡氏電路產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行FFT分析,結(jié)果如圖5所示.頻譜分析的關(guān)鍵是區(qū)分隨機(jī)白噪聲和確定的隨機(jī)(混沌).由于白噪聲是由大量獨(dú)立的因素產(chǎn)生的,因此其功率譜的振幅與頻率無關(guān),即具有沒有任何聲音的諧波結(jié)構(gòu)的功率譜應(yīng)為連續(xù)的平譜.而對(duì)于混沌而言,由于它是非周期的,所以它的功率譜仍是連續(xù)的,但由于混沌運(yùn)動(dòng)極其復(fù)雜,功率譜中會(huì)出現(xiàn)一批對(duì)應(yīng)新的分頻及倍頻的峰所以混沌的譜不是平譜,即譜中出現(xiàn)了噪聲背景和寬峰,對(duì)應(yīng)的FFT分析結(jié)果為一連續(xù)譜線因此,當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌時(shí),頻譜表現(xiàn)為連續(xù)的特征蔡氏電路10.0040.00-50.0060.0070.0051.00k76.00k101.00kFrequency/Hz圖5uc信號(hào)FFT圖2.4.2 Matlab仿真根據(jù)系統(tǒng)(3)的數(shù)學(xué)模型,參數(shù)取值為a=10,B=15.68,a=-1.2768,b=-0.6888設(shè)定初始系統(tǒng)初始值為(0.1,0.1,0.1),利用 Matlab對(duì)蔡氏電路進(jìn)編程計(jì)算得到圖6、圖7.xy,xz,yz及xyz的相平面圖,如圖6所示.其中二維的相平面圖是三維的相平面圖在某個(gè)特定坐標(biāo)軸上的投影,從仿真結(jié)果圖可以看出,蔡氏電路的正規(guī)化狀態(tài)方程描述了一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),而這個(gè)系統(tǒng)在所給參數(shù)和初值的條件下可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象.從圖7的時(shí)域波形中可以看出,當(dāng)蔡氏電路出現(xiàn)雙渦卷吸引子時(shí),電路的輸出波形是非周期的、不可以預(yù)測的,這正是人們?cè)谘芯炕煦鐣r(shí)需要得到的波形由此可以看出Mlab數(shù)值計(jì)算和上述 Multisim仿真結(jié)果是一致的中國煤化工CNMHG徐州工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2014年第1期Chua systemChua system22-05(a)x-y-z相平面圖(b)xy相平面圖(c)x-z相平面圖(dy-z相平面圖圖6相平現(xiàn)圖(a)r-T(b)y(c)z-T圖7時(shí)域波形圖圖8是初始值為(0.1,0.1,0.1)和(0.100000000.1,0.1)的xy相圖比較從圖中可以發(fā)現(xiàn),盡管初始值的差距很小,但系統(tǒng)的軌線卻差距甚大,說明蔡氏電路對(duì)初始值極為敏感Chua system(0.1,0.1,0.1)(0.1000000001,0.1,0.1)YH中國煤化工圖8不同初始值下xy相圖CNMHG40·李澤彬,等:蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究及仿真3結(jié)語基于蔡氏電路和蔡氏二極管電路,構(gòu)建了蔡氏電路數(shù)學(xué)模型.理論分析得出:蔡氏電路在合適的參數(shù)情況下,3個(gè)平衡點(diǎn)均為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn);系統(tǒng)具耗散性存在吸引子;系統(tǒng)在一定區(qū)域內(nèi)的第1個(gè) Lyapunov指數(shù)大于0且具有分?jǐn)?shù)維的 Lyapunov維數(shù).對(duì)其進(jìn)行仿真和數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明:在一定參數(shù)和初值的條件下,可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象,其頻譜表現(xiàn)為連續(xù)的,輸出波形是非周期的、不可以預(yù)測的,對(duì)初值具有敏感性隨著對(duì)蔡氏電路動(dòng)力學(xué)行為研究的深入,其在保密通訊、功率電子學(xué)、自動(dòng)控制、電力系統(tǒng)、自然災(zāi)害預(yù)測等領(lǐng)域?qū)⒌玫接行У膽?yīng)用參考文獻(xiàn)[1] Michael P K. Three steps to chaos part I: a chua's circuit primer [J]. IEEE Transactions on Circuits Systems, 1993, 40(10):657-674.[2]楊琨,蔡氏混沌電路的 MATLAB仿真[門電光系統(tǒng),2006,115(1):2527[3] Cruz H C, Romero H N. Communicating via synchronized time-delay Chuas circuits[J]. Commun Nonlinear Sci NumerSimul,2008,13(3):645-659[4] Posadas C C, Cruz H C, Lopez-Gutierrez R M Experimental realization of synchronization in complex networks with chua'scircuits like nodes[J]. Chaos, Solitons Fractals, 2009, 21(40): 1963-1975.[5]石季英,湯琳,趙延紅,等基于蔡氏電路的混沌同步的研究[J計(jì)算機(jī)仿真,2006,20(3):556[6 Ho M C, Lin C H. Detecting phase synchronization in chua's circuit with ill-defined phasture[C]//International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics(ICNAAM2010). Rhades: AIP Conference Proceedings, 2010(1):2131-2134[7] Sun JT, Zhang Y P. Impulsive control and synchronization of Chua's oscillators[J]. Mathematics and Computers in Simulation,2004,66(6):499-508[8]黃蘇華,肖文波,賴相霖,等.仿真蔡氏電路混沌效應(yīng)的討論[冂].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2012,31(4):76-78[9]徐小云.多渦卷蔡氏混沌系統(tǒng)及其數(shù)字化設(shè)計(jì)[].河南理工大學(xué)學(xué)報(bào);自然科學(xué)版,2011,30(3):321325[10]馮明庫.蔡氏電路中模擬電感的容差分析[J].物理實(shí)驗(yàn),2011,31(5):1[ll] kennedy M P. Three steps to Chaos[J]. IEEE Trans, Circuits and Systems, 1993, 40(10): 640-674Dynamical Behavior Study for Chua's Circuit and SimulationLI Ze-bin, HUANG Ji, HUANG Lei, WANG Ming-zhu, YAO You-fengComprehensive Application Laboratory of Sensor Networks and Information Processing System, West Anhui University, Lafan 237012, China)Abstract: In this paper, the mathematical model of Chua's circuit and Chua's diode is built The phasediagram, time-domain diagram and spectrogram for the double-scroll attractors were obtained through sim-ulation and numerical calculation, and the dynamical behavior at equilibrium point was analyzed. The studyresults show that the double-scroll attractor has arisen under certain parameters and initial conditions. Chua's circuit output waveform is aperiodic and unpredictable, and is sensitive to the initial value. The powerspectrum of this chaotic signal is continuous.Key words: chaos; Chua's circuit; kinetics(編輯徐永銘)中國煤化工CNMHG41