第33卷第6期佛山科學技術(shù)學院學報(自然科學版)Vol 33 No62015年11月Journal of Foshan University( Natural Sciences Edition)Nov.2015文章編號:1008-0171(2015)06-0059-05中值定理的推廣及應用李蕙萱(黎明職業(yè)大學公共教學部,福建泉州362000摘要:主要對數(shù)學分析教材中的費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理進行了較全面地推廣,并通過舉例說明了這些定理在函數(shù)的單調(diào)性、極值、極限、證明不等式和恒等式等方面的應用。關(guān)鍵詞:費馬定理;羅爾中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒定理中圖分類號:O172文獻標志碼:A大多數(shù)數(shù)學分析教材凵2中主要介紹了費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理較強的條件和結(jié)論,以及它們在求函數(shù)極值、判定函數(shù)的單調(diào)性、求不定式極限、證明不等式和恒等式等方面的一些應用,但是某些實際問題,由于不滿足定理中的條件,所以不能直接應用這些定理,因而具有一定的局限性。本文針對這些問題對以上定理進行推廣,如推廣到開區(qū)間、無窮區(qū)間等情形,并通過舉例說明有關(guān)的應用,旨在為解題帶來更大的方便。費馬定理的推廣及應用費馬定理給出了可導函數(shù)在極值點的導數(shù)值為零的理論,因此費馬定理僅適用于可導函數(shù)的情形,具有一定的局限性,下面針對函數(shù)不可導的極值點的導數(shù)值進行推廣,首先引入次微分的概念。定義1凸函數(shù)f:R在點x的次導數(shù),是實數(shù)c使得f(x)-f(x0)≥c(x-x0)。對于所有I內(nèi)的xo,可以證明,在點x的次導數(shù)的集合是一個非空閉區(qū)間[a,b,其中a和b是f在xo處的單側(cè)極限,且滿足a≤b。所有次導數(shù)的集合a,b]稱為函數(shù)f在xo的次微分,記作f(x0)=f'(x0),fF(x0)]。引理1凸函數(shù)的局部極小值一定是整個定義域內(nèi)的最小值命題1設f(x)是定義在(a,b)上的凸函數(shù),則0∈(x0)是x0為函數(shù)f(x)在(a,b)的極小值點的充要條件。證明(充分性)設在(a,b)上的凸函數(shù)f(x)的極小值點是x0,則由引理1知f(x)在(a,b)上的最小值點是x,即Ⅴx∈(a,b),有f(x)≥f(x0)+0(x-x),故0∈0f(xo)。(必要性)設有0∈(x0),從而Ⅴx∈(a,b),有f(x)≥f(x0)+0(x-x0)=(x0),即f(x)在(a,b)上的最小值點是x0,同時也是極小值點推論1當凸函數(shù)f(x)在(a,b)上為可導函數(shù)時,xo是f(x)在(a,b)上的極小值點的充要條件為f(x0)=0例1討論函數(shù)y=|x|,x∈R的極值問題收稿日期:2015-04-09中國煤化工作者簡介:李蕙萱(1974-),女,福建泉州人,黎明職業(yè)大學講師CNMHG佛山科學技術(shù)學院學報(自然科學版)第33卷首先,由絕對值三角不等式的性質(zhì)得t∈(0,1),Hx,y∈R,|tx+(1-1)y|≤tx|+(1-t)y|。即該函數(shù)為凸函數(shù),由定義1知,當x>0時,0f(x)=1;當x=0時,f(0)=[-1,1;當x<0時,af(x)=1故僅當x=0時,0∈礦(x),由命題1得,該函數(shù)極小值點是0且惟一。2羅爾定理的推廣及應用羅爾定理是一個充分而非必要條件,且對涉及的函數(shù)要求為閉區(qū)間,但在實際問題中會碰到開區(qū)間或半開半閉區(qū)間或無限區(qū)間等情形。命題2設在區(qū)間(a,b)上函數(shù)f(x)連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且limf(x)=limf(x)=A,其中Ax為常數(shù),則彐∈(a,b),使得f"()=0命題3設在區(qū)間[a,b)上函數(shù)f(x)連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且limf(x)=f(a),則彐∈(a,b使得f"(≥=0命題4設在區(qū)間(a,b]上函數(shù)f(x)連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且limf(x)=f(b),則彐∈(a,b),使得f"(5≥=0。命題5設在區(qū)間[a,+∞)上函數(shù)f(x)連續(xù),在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)可導且imf(x)=f(a),則彐∈(a,∞),使得∫()=0命題6設在區(qū)間(a,+∞)上函數(shù)f(x)連續(xù),在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)可導,且limf(x)=limf(x)=A,其中A為有限實數(shù),則彐∈(a,+∞),使得∫'()=0。命題7設在區(qū)間(-∞,a上函數(shù)f(x)連續(xù),在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)可導,且limf(x)=f(a),則彐∈(-∞,a),使得f"(=0命題8設在區(qū)間(-∞,a)上函數(shù)f(x)連續(xù),在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)可導,且limf(x)=limf(x)=A,其中A為有限實數(shù),則彐∈(-∞,a),使得∫"()=0。命題9設在區(qū)間(-∞,+∞)上函數(shù)∫(x)連續(xù),在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)可導,且limf(x)=limf(x)A,其中A為有限實數(shù),則彐∈(-∞,+∞),使得f()=0證明若∫(x)是常值函數(shù),結(jié)論顯然成立。下面只討論∫(x)不是常值函數(shù)的情形。在這一情形下,不妨設彐x∈(-∞,+∞),f(x)>A=limf(x)。因為f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)介值定理的推廣形式可知,丑5∈(-∞,x),2∈(x,+∞),使得f()=f(2)。再由羅爾定理得∈(,52)C(-∞,+∞),使得f"(5)=0。命題10若在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)f(x)可導,且limf(x)=limf(x)=+∞或-∞,則引ξ∈(a,b),使得f"()=0證明不妨設imf(x)=limf(x)=+2,并令M=f(“+)。則36(0<6),使對滿足aM3x∈(a,a+)使得f(x1)>M。對上述f(x1),362∈(06x)使得滿足b-60,f(x)在(a,a+6)(b-8,b)內(nèi)有相同的單調(diào)性,則至少1,∈(a,b),≠52使得f"5)=0,f(52)=0。例2設F(x)在(a,b)上可導,且limF(x)>0,limF"(x)<0,證明彐ξ∈(a,b),使得F'()=0。rb證明據(jù)題設所給條件和極限的保號性知,3δ>0,當x∈(a,a+8)時,F(x)>0,即F(x)在(a,a+6)上單增;當x∈(b-8,b)時,F(x)<0,即F(x)在(b-8,b)上單減,由上述命題11知,一定彐ξ∈(a,b),使得F'(點)=0。3拉格朗日中值定理的推廣及應用拉格朗日中值定理是中值定理的核心,在許多問題中能得到應用,可是受到開區(qū)間內(nèi)可導條件的限制,有時并不能很好地解決問題。命題13設在閉區(qū)間a,b]上函數(shù)∫連續(xù),若在(a,b)內(nèi)函數(shù)除了有限個點外可微,則彐∈(a,b),使得(b)-f(a)|≤f(o)|(b-a)。證明不妨設f僅在d∈(a,b)不可微分,分別在區(qū)間[a,d,[d,b]上應用拉格朗日中值定理得f(d)-f(a)=f'(o)(d-a),o∈(a,d),f(b)f(d)-f'(a2)(b-d),a2∈(d,b),令團f"(p)=maxf(1)|,f'(a2)|,使得(b)-f(a)≤(o)|(b-a)。命題14設在閉區(qū)間[a,b上函數(shù)f連續(xù),若在(a,b)內(nèi)函數(shù)f除了n個點外可微,則存在n+1個點a24…述(m0,且f(b)-f(a)=af'(1)+af'(52)]這個證明方法顯然可以推廣到f在n個點(n>1)上不可微的情形。命題15若在閉區(qū)間a,b]上函數(shù)f連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在左右導數(shù)f',f+,且f(b)=f(a),則彐x∈(a,b),使得f'(xf'(x0)≤0。例3證明 arctan a- arctan b≤{a-b|。證明設f(x)= arctan x,x∈a,b],則f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理可得m(04),取絕對值1mbb1+,因為1|=1所以 arctan a- arctan b|≤a-b|。4柯西中值定理的推廣及應用柯西中值定理的條件要求x∈(a,b),g(x)≠0,這個條件限制g(x)的條件較強,為單調(diào)函數(shù),且要求g(x)≠0(x∈(a,b)),應用范圍受到限制命題16若在閉區(qū)間[a,b上f(x)和g(x)連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,g(a)≠g(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點c,使f(c)=/(b)-f(a)dlc)g(6)-g(a)證明作輔助函數(shù)Fx)f(x)-f(a)-fb)f(a)g(x)-g(a)同然F)足羅爾定理的條件中國煤化工則至少存在一點c在(a,b)內(nèi),使F(c)=0,即CNMHG佛山科學技術(shù)學院學報(自然科學版)第33卷(b)-f(a推論2若在閉區(qū)間[a,b]上f(x)和g(x)連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且g(a)≠g(b)f(x)和g(x)不同時為零,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點c,使g'(c)g(b)-g(a)°證明由命題16知,在(a,b)內(nèi)至少存在一點c,使r(e)=/(b)(a)g1(c)-g(a由f(c)和g'(c)不同時為零,必有g(shù)(c)≠0,否則g(c)=0,則f(c)=0,這不可能,所以將/'(c=f(b-flalg'(c)兩邊同時除以g(e),可得fc)=f(b)f(a)例4設函數(shù)f(x)∈c[a,b],且在(a,b)內(nèi)可導,證明彐c∈(a,b),使得2cf(b)-f(a)]=(b2-a2)f'(c),其中a>0。證明只須證(b)f()=c)。令g(x)=,則/(x)g(x)滿足柯西中值定理條件,所以彐ce(a,b),使f(b)(a)=(C),即f(b)(n)=f"(c),由此原結(jié)論成立。5泰勒定理的推廣及應用當出現(xiàn)兩個函數(shù)在區(qū)間(x,x1)中n+1階可導時, Taylor中值定理需要推廣命題17如果在區(qū)間(x0,x)中函數(shù)f(x)和g(x)具有n+1階導數(shù)時,那么彐∈(xo,x1),使得(5)f(x)∑r4(x)(x3(x)-∑g+(x0)證明設F(x)=f(x)(x0)(x-x)hg(ao)(a-xo)則當i0,1,2,…,n時,有F(x)=(x)-2/n),6(x)=g(x)-2g+(x)(x=易得F(x0)=G“(x0)=(由柯西中值定理可得彐∈(xo,x1),使得F(x1)F(x1)-F(x)F(1)G(x1)G(x1)-G(x0)G(1)不斷使用這兩個等式和柯西中值定理可得彐ξ∈(x0,x1),使得F(x1)F葉()f(x1)-∑/(f"(g(x)-∑YH中國煤化工CNMHG第6期李蕙萱:中值定理的推廣及應用例56利用泰勒公式求極限 lim nx→→0 Y sin a解由泰勒公式知sin(E+ -)x sin($+55!sin xsin(+丌)sIn(十一Txa其中,在0與x之間。參考文獻[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2010[2]歐陽光中,姚允龍,周淵數(shù)學分析[M].上海:復旦大學出版社,2003[3]辛健拉格朗日中值定理在證明中的應用[J].大眾科技,2007(3):181-183[4]盛小蘭.例談微分中值定理的證題技巧[J].技術(shù)監(jiān)督教育學刊,200901):16-19[5]趙香蘭巧用微分中值定理J].大同職業(yè)技術(shù)學院學報.2004,18(2):64-66[ MAUCH S. Advance Mathematical Methods for Scientists and Engineers[ M].[S. 1. Mauch Pubulishing Company, 2003【責任編輯:王桂珍 foshanwgzh@l63comPromotion of the mean value theorem andits applicationuI-XuanDepartment of Public Teaching, Liming Vocational University, Quanzhou 362000, ChinaAbstract: In this paper, several common mean value theorems, such as Fermats theorem, Rolle theorem,Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem and Taylors theorem, are extended to more generalcases, and illustrated the monotonicity, limit, proof of the application of function inequality and identity etc. inapplicationKey words: Fermats theorem; Rolle theorem; Lagrange mean value theorem; Cauchy mean value theoremTaylor's theorem中國煤化工CNMHG