數(shù)學(xué)分析測(cè)試分析陸競(jìng)(杭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江杭州310012)摘要:高校擴(kuò)大招生后,數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)大綱是否要作修改已經(jīng)是業(yè)內(nèi)人士所關(guān)注的課題。華東師大與杭州師范學(xué)院等高校承擔(dān)了教育部高教司(世行貸款21世紀(jì)初高等理工科教育教學(xué)改革》項(xiàng)目課題的研究。為此對(duì)在校生進(jìn)行了一系列數(shù)學(xué)分析課程的測(cè)試。本文對(duì)其中一次測(cè)試結(jié)果作了詳細(xì)分析,從中可以了解到當(dāng)前數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀,對(duì)教師的教學(xué)工作有-定的借鑒作用。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)分析;測(cè)試中圈分類號(hào):C424.74文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008 - 4894(2005)02 - 0099- 04數(shù)學(xué)分析始終是數(shù)學(xué)專業(yè)的最重要的基礎(chǔ)課經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì),不涉及一般的運(yùn)算能力、技巧和模仿程，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)水平在很大程度上代表了數(shù)學(xué)性的證明,只需要思考,辨別和判斷,再加上測(cè)試是基礎(chǔ)課程的教學(xué)水平。杭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系早在在整個(gè)課程學(xué)完后進(jìn)行的，所有的知識(shí)點(diǎn)都應(yīng)該已1994年即對(duì)該課程進(jìn)行重點(diǎn)建設(shè),并于當(dāng)年在省教經(jīng)被測(cè)試對(duì)象掌握。測(cè)試前也不作任何復(fù)習(xí),訓(xùn)練育廳組織的專家組驗(yàn)收評(píng)估會(huì)上以優(yōu)秀的等次獲得和提示工作?？傊?，是在沒(méi)有任何事先準(zhǔn)備的情況通過(guò)。按照課程建設(shè)所制定的大綱以及一整套教學(xué)下進(jìn)行的。因此，測(cè)試的結(jié)果很說(shuō)明學(xué)生掌握的程規(guī)范,在以后幾年的教學(xué)實(shí)踐中,取得了預(yù)期的較為度。下面對(duì)第二次測(cè)試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)作簡(jiǎn)單的分析和滿意的效果。近年來(lái),隨著招生規(guī)模的日益擴(kuò)大,新說(shuō)明。本套統(tǒng)考題總分100分,有極限理論、微積設(shè)專業(yè)的不斷增加,報(bào)考數(shù)學(xué)專業(yè)考生的基本情況分、級(jí)數(shù)理論。發(fā)生了一-定的變化,這在各層次的高校數(shù)學(xué)專業(yè)的教師,都有較深的感受,教學(xué)中也有明顯的反映。數(shù)1試題學(xué)分析的教學(xué)是沿襲原有的教學(xué)大綱和規(guī)范,還是針對(duì)當(dāng)前的實(shí)際作適當(dāng)改革,是我們回避不了的現(xiàn)(1)計(jì)算. lim(1+)".(8)實(shí)問(wèn)題,而且這類問(wèn)題也已引起了有關(guān)部門的關(guān)注，(2)設(shè)y = arccos√1- x,求y'. (8')由華東師大主持的,有杭州師范學(xué)院等參加的教育(3)求不定積分In xdx. (8')部高教司《21世紀(jì)初高等理工科教育教學(xué)改革》項(xiàng)目,將對(duì)此作出客觀的評(píng)價(jià)。課題組工作的重要- -(4)求冪級(jí)數(shù)2 nx"-1的收斂半徑和收斂區(qū)域,環(huán),是檢測(cè)數(shù)學(xué)分析的教學(xué)水平。為此,課題組決并用初等函數(shù)表示它的和函數(shù). (8' )定,對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)分析課程的內(nèi)容進(jìn)行三次不同側(cè)重,(5)設(shè)z = arctan(x - y)*,求dz. (8')不同形式的數(shù)學(xué)分析水平測(cè)試。每次測(cè)試在幾個(gè)高校同時(shí)進(jìn)行。杭州師范學(xué)院選擇剛進(jìn)人第五學(xué)期學(xué)(6)求二重積分ffe+, ded ,其中D= |(x.,y)習(xí)的數(shù)學(xué)專業(yè)85位學(xué)生作為試驗(yàn)樣本。由于試題≤1}. (8')收稿日期:2004- 12-03xdydz + ydzdx + zdxdy基金項(xiàng)目:教育部高教司《世行貸款21世紀(jì)初高等理工科教育.中國(guó)煤化工教學(xué)改革》項(xiàng)目課題(No.1282B01011)其中.FYHCNMHG的內(nèi)側(cè). (8')作者簡(jiǎn)介:陸競(jìng)(1958-),男 ,浙江杭州人,副教授。(8)下面是某人寫的一段證明:99“因?yàn)閘imxn = xo,所以Ve > 0,3N,當(dāng)n >教學(xué)建議:加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的訓(xùn)練,增加求導(dǎo)計(jì)N,就有1x-xo1 N時(shí),都有xn= xo.”(3)求不定積分|n xdx. (8')上述證明和結(jié)論是否正確,請(qǐng)說(shuō)明理由。(8')測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,從平均分7.7分看，(9)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上無(wú)界.證明:在[a,情況算是很可以的了。這是使用分部積分求原函數(shù)b]中必存在點(diǎn)xo,使f(x)在xo的任意鄰域內(nèi)都無(wú)的典型例子。說(shuō)明學(xué)生對(duì)應(yīng)該用分部積分求原函數(shù)界. (8')的最基本的類型掌握得還是比較好的,但遺忘積分(10)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上常數(shù)的現(xiàn)象還有發(fā)生?？蓪?dǎo),且f(a) = f(b).證明:若f(x)在[a,b]上不教學(xué)建議:增加求不定積分的習(xí)題計(jì)算量,應(yīng)是常數(shù)函數(shù),則存在x1,xz∈[a,b],使f(x1) <0,強(qiáng)調(diào)不定積分理論,杜絕遺漏積分常數(shù)現(xiàn)象.f(x2) > 0. (8')(4)求冪級(jí)數(shù)2 nx"-1的收斂半徑和收斂區(qū)域，(11)設(shè)F(x) =| f(t)dt. 請(qǐng)問(wèn),在什么條件并用初等函數(shù)表示它的和函數(shù)。(8' )下,有F"(x) = f(x)?說(shuō)明理由. (10)測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,其實(shí)只要在高等數(shù)學(xué)(12)試給出一個(gè)在(0,1)上連續(xù)有界,但非一中學(xué)過(guò)冪級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí),那么求收斂半徑和收斂致連續(xù)的函數(shù)的例子.要求說(shuō)明理由. (10')區(qū)間都是輕而易舉的,因?yàn)樯婕暗臉O限的計(jì)算以及可以看出測(cè)試著重于了解學(xué)生對(duì)基本概念基本在端點(diǎn)處的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性都是顯而易見(jiàn)的。理論及方法的掌握程度。共有85名學(xué)生參加。這次教學(xué)建議:加強(qiáng)冪級(jí)數(shù)概念的教學(xué),要求學(xué)生測(cè)試反映數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的不少問(wèn)題,一些學(xué)生基必須掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法,能利用冪級(jí)數(shù)逐本功不扎實(shí),既不理解抽象的數(shù)學(xué)概念,又不會(huì)做簡(jiǎn)項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積解決部分問(wèn)題。單的計(jì)算題。這里有一些客觀上的原因:有的認(rèn)為測(cè)(5)設(shè)z = arctan(x- y)*,求dz. (8') .試與自己切身利益無(wú)關(guān);有的抱怨沒(méi)有給出復(fù)習(xí)時(shí)測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,考查多元函數(shù)的微間等。對(duì)此,必須認(rèn)真思考仔細(xì)分析才能找出原因,分,本質(zhì)是求兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。由于對(duì)底與指數(shù)均是變量進(jìn)而把數(shù)學(xué)分析的教學(xué)工作做好。因而于測(cè)試結(jié)束的函數(shù)的求導(dǎo)本來(lái)就掌握得不盡如人意,現(xiàn)在又是后,對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析,提出了對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生的看多元,又是復(fù)合,又是微分,有些人難免就犯糊涂了。法,給出了教學(xué)建議。教師在多元部分的教學(xué)中,可能對(duì)求導(dǎo)會(huì)重視不夠，也應(yīng)引起主意。2卷面分析教學(xué)建議:加強(qiáng)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的每題得分情況見(jiàn)表1,具體分析如下:教學(xué),增加這方面的作業(yè)量。(1)計(jì)算lim(1+ 2)". (8)(6)求二重積分e2++ dxdy,其中D= {(x,y)測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,考察對(duì)重要極限的掌1 x2+ y≤1}. (8')握情況。所有參加測(cè)試者都給出了正確結(jié)果,說(shuō)明最測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,考查用極坐標(biāo)變換求基本的極限還是掌握得可以的。二重積分的最基本的例子。因?yàn)樗袇⒓訙y(cè)試的學(xué)(2)設(shè)y = arccos√1- x2,求y'. (8')生都給出了正確結(jié)果,有理由相信,對(duì)這類問(wèn)題學(xué)生測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,考查學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)掌握的是較好的。求導(dǎo)的掌握程度。應(yīng)該說(shuō)函數(shù)并不復(fù)雜,然而結(jié)果卻教學(xué)建議:從結(jié)果看,學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)變換掌握出乎意料之外。有的連y = arccosu 的導(dǎo)數(shù)公式也忘得較好,這與教學(xué)中對(duì)這部分內(nèi)容的正確處理有關(guān)，了,還有些鏈?zhǔn)椒▌t已淡忘。至于結(jié)果不加絕對(duì)值符應(yīng)繼續(xù)收共百告的戴出中國(guó)煤化工號(hào)更是不在少數(shù)。這么基本的考題都做的不理想,當(dāng)然會(huì)影響不定積分,多元微分的學(xué)習(xí)。打好基礎(chǔ)的重THCNMHGJ|xdydz + ydzdx +要性由此可見(jiàn)一班。zdxdy,其中s為球面x2+ y2+ z2= 1的內(nèi)側(cè). (8')100●測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,只要還記得高斯公生干脆空著。其實(shí)只要把幾何直觀與中值定理結(jié)合式,同時(shí)注意到側(cè)的概念,那么拿到8分沒(méi)有問(wèn)題。起來(lái)就不難得到結(jié)果。得分如此之低的原因與其說(shuō)之所以有差不多- - 半的學(xué)生為0分,當(dāng)然是因?yàn)樗荓agrange中值定理掌握得不夠深人,倒不如說(shuō)是們已經(jīng)不知道高斯公式為何物了?，F(xiàn)在的學(xué)生已習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義沒(méi)有真正掌握。教學(xué)建議:加強(qiáng)微分中值定理和判別函數(shù)單調(diào)慣于考前聽(tīng)有關(guān)的復(fù)習(xí)課，而按要求,本次測(cè)試之前不復(fù)習(xí),不劃范圍,所以出現(xiàn)這種情況也是情理之性法則的教學(xué)。中的。(11)設(shè)F(x)= [f(t)du. 請(qǐng)問(wèn),在什么條件教學(xué)建議:加深第二類曲面積分的教學(xué)和用高下,有F"(x) = f(x)?說(shuō)明理由。(10)斯公式計(jì)算第二類曲面積分的訓(xùn)練,強(qiáng)調(diào)第二類曲測(cè)試評(píng)估:本題滿分10分，微積分基本定理說(shuō)，面積分與曲面所選的側(cè)向有關(guān)。(8)下面是某人寫的一段證明:f(x)連續(xù),則F'(x)= f(x)。既然是基本定理,應(yīng)該“因?yàn)閘imx.= xo,所以Vε > 0,3N,當(dāng)n >很好掌握,現(xiàn)實(shí)情況卻不容樂(lè)觀,得5分的學(xué)生是因?yàn)闆](méi)有說(shuō)明理由?？磥?lái)教學(xué)中對(duì)最基本的理論問(wèn)題N,就有1x。-xo1<ε,由ε的任意性,可得x= xo.還要加強(qiáng)。因此,當(dāng)n > N時(shí),都有xn= xo.”"教學(xué)建議:加強(qiáng)微積分基本定理的教學(xué),教學(xué)上述證明和結(jié)論是否正確,請(qǐng)說(shuō)明理由。(8')中要求學(xué)生重視積分與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算的條件。測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,利用e的任意性說(shuō)明(12)試給出一個(gè)在(0,1)上連續(xù)有界,但非一某些量是無(wú)窮小量或者是0,在數(shù)學(xué)分析中是經(jīng)常致連續(xù)的函數(shù)的例子.要求說(shuō)明理由。(10)見(jiàn)到的。得4分的學(xué)生或者知道這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，測(cè)試評(píng)估: 本題滿分10分,只有少數(shù)幾個(gè)學(xué)生.但就是不能正確地表述，或者只能舉一個(gè)反例說(shuō)明給出了正確的例子并進(jìn)行證明..對(duì)-部分學(xué)生而之。這反映了學(xué)生學(xué)習(xí)中有不求甚解的作風(fēng),這是學(xué)言,一致連續(xù)本就比較難懂,非一致連續(xù)并且有界就習(xí)的大忌。更頭疼了。象這類比較體現(xiàn)學(xué)生程度的考題,大致上教學(xué)建議:加強(qiáng)極限的ε - N和e - 8理解的準(zhǔn)就是這個(gè)水準(zhǔn),我們應(yīng)該有一個(gè)切合實(shí)際的估計(jì),在確性教學(xué)。(9)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上無(wú)界。證明:在[a，教學(xué)中才能把好尺度,不至于對(duì)學(xué)生作出出乎他們能力之外的要求。b]中必存在點(diǎn)xo,使f(x)在知的任意鄰域內(nèi)都無(wú)教學(xué)建議:加強(qiáng)函數(shù)的一致連續(xù)性的教學(xué),著界。(8')測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,可以說(shuō)是全軍覆沒(méi)。重講透函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)。 由于函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析教學(xué)難點(diǎn)之一,建議采用電子教學(xué)等實(shí)數(shù)理論本就是學(xué)生們的軟肋,他們可以熟練背誦輔助方法,加深學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)。W eierstrass聚,點(diǎn)原理和Borel有限覆蓋定理。但很少能在具體問(wèn)題中成功使用.這種現(xiàn)象不是孤立的,其總體評(píng)價(jià)實(shí)質(zhì)還是沒(méi)有真正鉆進(jìn)去再走出來(lái)。較好掌握基本概念和方法并能以之解題的學(xué)生教學(xué)建議:加強(qiáng)函數(shù)有界性與有限覆蓋定理的可以說(shuō)少之又少,只能說(shuō)教學(xué)要求基本能達(dá)到,但效教學(xué)強(qiáng)度。有限覆蓋定理的教學(xué)是數(shù)學(xué)分析的難點(diǎn)果不能令人滿意。出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，-是部分學(xué)生數(shù)之一,力求使盡可能多的學(xué)生能用它解決比較簡(jiǎn)單學(xué)分析的知識(shí)本就掌握得不夠扎實(shí)，加之隨著時(shí)間的有關(guān)問(wèn)題。的推移,數(shù)學(xué)分析的許多概念已逐漸淡忘。再因?yàn)榭?10)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上前不劃范圍,不組織復(fù)習(xí),對(duì)于巳習(xí)慣于考前突擊的可導(dǎo),且f(a)= f(b).證明:若f(x)在[a,b]上不學(xué)生,更加感到不適應(yīng)。這樣的學(xué)習(xí)方法肯定是不對(duì)是常數(shù)函數(shù),則存在劃1xz∈[a,b],使f(x) <0，頭的。 至少學(xué)習(xí)不是為了應(yīng)付考試,應(yīng)付考試的學(xué)習(xí)f(x2) >0. (8')不會(huì)中國(guó)煤化工到底有一個(gè)學(xué)風(fēng)問(wèn)測(cè)試評(píng)估:本題滿分8分,只是Lagrange中值定題,學(xué)YHCNMHG概念理論方法是理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.盡管有相當(dāng)?shù)膶W(xué)生從感覺(jué)出發(fā),使用不成問(wèn)題的。.了Lagange中值定理。然而都不得要領(lǐng),還有很多學(xué)101●表1得分統(tǒng)計(jì)表題號(hào)分值分布及人數(shù)平均得分(1)得分88’人數(shù)8:(2)62’5.5'30216(3)8'7.7'8C(4)6’5'3'-2' .0’32121746.1'(5)3'-2'2801:4.2'(6)85(7)0'3.9'384((8)104.8'(9)0.1'(10)(11)14433.3'(12)731.3'70-7960- 6950- 5940- 4930- 39總評(píng)261353.0土10.8百分率2.3%34 .9%30.2%16.3%Analyzing on the results of testing on mathematical analysisLu Jing( Deparment of Mathematics，Hangzhou Teachers College, Hangzhou, hejiang310012, China)Abstract: Since the number of recruiting students of higher education expended, whether it is necessary to modify the teaching syllabus of thebasic mathematical courses or not has been the topic of the specialists on mathematical teaching . The East China Teacher' s University and theHangzhou Teacher' s College now are undertaking the tasks set by the National Education Bureau to carry out a study on the project named as"The 21 century teaching reform on elementary and higher science and engineering subject education founded by the World Bank" . In doingso, we have been taking a series of tests in the mathematical analysis course on the university and college students. In this paper we just ana-lyze one testing results in detail B0 that we can know the real studying situation about the university and college students, which may be usefulto the university and college teachers in their teaching practice.中國(guó)煤化工Key words: mathematical analysis; testing .YHCNMHG