第14卷第4期南通大學學報(自然科學版)Vol 14 No 42015年12月Journal of Nantong University(Natural Science Edition)Dec.2015變參數 Lorenz系統(tǒng)的動力學特性研究解霞),黃洪斌2,陳翠萍1(L.南通大學理學院,江蘇南通226019;2.東南大學物理系,江蘇南京210096)摘要:為了研究參數漂移對混沌系統(tǒng)的影響,對 orenz系統(tǒng)的3個參數a、b和ε分別施加正態(tài)隨機擾動,數值計算變參數 Lorenz a系統(tǒng)的解和最大 Lyapunov指數,研究系統(tǒng)參數受擾動的變參數 Lorenz系統(tǒng)的動力學行為和混沌參數區(qū)域,并和定參數 Lorenz系統(tǒng)的混沌參數區(qū)城作比較.計算結果表明:對處于亞穩(wěn)態(tài)、周期態(tài)的 Lorenz系統(tǒng)施加一定的參數擾動,系統(tǒng)將產生混沌運動;變參數Lωrenz系統(tǒng)的混沌參數區(qū)域比固定參數 Lorenz系統(tǒng)的混沌參數區(qū)城更為廣闊,文章提出的系統(tǒng)參數擾動法作為混沌反控制的一種新方法,能實現穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的混沌化關鍵詞:變參數 Lorenz系統(tǒng);動力學特性;混沌; Lyapunov指數中圖分類號:0415文獻標志碼:A文章編號:1673-2340(2015)04-0017-06Study on Dynamics of the Varying Parameter Lorenz SystemXIE Xia, HUANG Hongbin, CHEN Cuiping(1. School of Sciences, Nantong University, Nantong 226019, China2. Department of Physics, Southeast University, Nanjing 210096, China)Abstract: In order to study the influence of parameter shift on the chaotic system, normal random disturbance wasapplied to the parameters, and of Lorenz system respectively, and numerical solution and the Maximal Lyapunovexponent of this varying parameter Lorenz system were calculated. The behaviors and the chaotic region of varyingparameter Lorenz system were investigated and the differences between varying parameter Lorenz system and thenormal system with fixed parameters were later demonstrated. The results showed that the disturbance of parameters toLorenz system which is originally in meta-stable or periodic states can generate chaos, and the chaotic region ofvarying parameter Lorenz system is much wider than the fixed parameter system. The system parameter perturbationnethod proposed in this paper is a new way for anti-chaos controlling that achieve chaos control of the stable systemKey words: varying parameter Lorenz system; dynamic characteristics; chaos Lyapunov exponent自從1963年美國氣象學家 Lorenz在模擬大氣 Lorenz系統(tǒng)具有豐富的動力學特征,其至今仍吸對流建立的 Lorenz模型中發(fā)現混沌吸引子叫以后,引人們作更深入的研究s.系統(tǒng)的混沌運動是對初Lo系統(tǒng)便成為一個經典混沌系統(tǒng).半個世紀以始條件極端敏感導致的長期不可預測的運動.通過來,國內外學者對 Lorenz方程作了廣泛研究,發(fā)現計算 Lyapunov指數間、功率譜η等方法可以判斷系統(tǒng)收稿日期:2015-05-08基金項目:國家自然科學青年基金項目(1104151);江蘇省高等教育教改研究立項課H中國煤化工CNMHG作者簡介:解霞(1981—),女,講師,主要研究方向為非線性光學混沌E-mai:xiexia@mtu.edu.cn18南通大學學報(自然科學版015年是否為混沌運動.對于 Lorenz系統(tǒng)的混沌運動,陳R ,=Arandom (i=a, b, c)(2)關榮等人已給出明確的參數范圍式中,A1表示擾動強度, random是標準偏差為1的從20世紀80年代以來,混沌控制的研究實正態(tài)分布隨機數把式(1)所描述的系統(tǒng)稱為變參現了從混沌態(tài)到穩(wěn)定平衡態(tài)的控制田在90年代,數 T系統(tǒng)研究者發(fā)現混沌運動并不是百害無益,在很多場1.1未受擾動 L系統(tǒng)的基本動力學特性合混沌運動是有用甚至是必需的,如保密通信嗎令A,=0(i=a,b,c),式(1)即為熟悉的生物神經活動叫、化學反應和機械系統(tǒng)等,動力系統(tǒng)的混沌化作為一個全新的問題被提出來.混沌化Lorenz系統(tǒng)考慮未受擾系統(tǒng)的平衡點,令x=y=又稱混沌反控制,它實現了系統(tǒng)由穩(wěn)定態(tài)向混沌z=0,顯然,若co>1,則系統(tǒng)存在3個平衡點:S態(tài)的轉化對動力系統(tǒng)施加延遲反饋可使穩(wěn)定系統(tǒng)(0,0,0),S=(±Vb0(c0-1),±Vbo(o-1,混沌化1目前對混沌系統(tǒng)動力學行為的研究和混沌控-1.當a=10,b。=8時,隨參數c的增大,制與反控制的研究大多是基于參數固定的系統(tǒng),系統(tǒng)由亞穩(wěn)態(tài)區(qū)經過周期混沌共存區(qū)、混沌區(qū)、倍而在很多實際過程中會出現系統(tǒng)的參數隨時間發(fā)周期窗口區(qū)到達周期態(tài)區(qū)域,其中混沌區(qū)域為247<生改變的情況,例如激光系統(tǒng)或電路系統(tǒng)在長時co<1459(如圖la所示).當取經典參數a=10,運轉后的參數漂移,化學反應中環(huán)境溫度的不穩(wěn)bo-3,c0=28時,系統(tǒng)具有一個典型的混沌吸引定對系統(tǒng)的影響等.因此,討論系統(tǒng)參數受到擾動的變參數系統(tǒng)的動力學行為是非常有必要的,子,其最大 Lyapunov指數(以下簡稱MLE)為10861本文對 Lorenz系統(tǒng)的參數施加擾動,主要研究系統(tǒng)2個非零不穩(wěn)定平衡點為(±84853,±84853,27)參數受正態(tài)隨機擾動時 Lorena系統(tǒng)的動力學行為,1.2參數c受擾時的動力學特性我們把參數受擾的 Lorenz系統(tǒng)稱為變參數 Lorenz系統(tǒng)(1)取參數a=10,b=3,且A.=A,=系統(tǒng)固定3個參數中的2個參數,分別對系統(tǒng)參0.考慮動力系統(tǒng)演化的時間尺度,本文中數值模擬數ab或c施加擾動,研究系統(tǒng)狀態(tài)的變化,通過計算步長取0.015,系統(tǒng)參數每隔001s受擾動一計算最大 Lyapunov指數間,判斷受擾系統(tǒng)是否處于次.圖1b是系統(tǒng)參數受到強度為5的隨機擾動下混沌態(tài)數值計算的結果表明:系統(tǒng)參數受擾會增的MLE圖該系統(tǒng)的混沌區(qū)域為17<0<290,比加混沌出現的可能性,使混沌參數區(qū)域增大;對參定參數系統(tǒng)的混沌參數區(qū)域大很多.數a、b和c的擾動都能使亞穩(wěn)態(tài)、穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)混沌圖2a給出當c=28時,擾動強度A從0增化,具有一定的實際意義大到60的MLE圖結果表明若未受擾系統(tǒng)處在混1變參數 Lorenz系統(tǒng)動力學特性沌態(tài),對系統(tǒng)參數施加較大的擾動,MIE增大,系系統(tǒng)參數受擾動的 Lorenz系統(tǒng)可由下列方程統(tǒng)仍保持混沌運動圖2b給出當0=160時,擾動描述:強度A從0增大到10的ME圖.當A。=0時,MLE為0.0863,系統(tǒng)對應倍周期窗口的二倍周期x =a-x)態(tài)(見圖3a);而當A增大到5時,MLE=21261,y=cx-y-z(1)系統(tǒng)進入混沌運動,混沌吸引子的2個焦點與定參數系統(tǒng)二倍周期軌道的焦點一致(見圖3b).因此其中,a=馬+R2,b=b+R,c=+R本文對處在周期山中國煤化工數c稍加擾動主要考慮擾動為雙邊正態(tài)分布的隨機函數情況,且就會使系統(tǒng)CNMHG擾系統(tǒng)處于何強度可控.擾動項表示為種狀態(tài),當擾動強度A增大時MLE隨之增大解霞,等:變參數 Lorenz系統(tǒng)的動力學特性研究050100150200250300350050100150200250300350A=0圖1MEc曲線圖(a=10,b8,A。=A=0)2.0圖2MLE-A曲線圖20bA= 5x-y平面相圖(co=160)13參數a、b受擾時的動力學特性當cn=28時山中國煤化工,圖4給出系統(tǒng)(1)取參數42=1,0=號,且A,=0CNMHG=0時擾動從U增大到10時,系統(tǒng)對應南通大學學報(自然科學版)2015年的MLE;圖4b給出A。=0時擾動強度A4從0增大參數a、b分別受到擾動的MLE.結果表明,對處于到4對應的MLE.可見,MLE隨擾動強度A或A,倍周期窗的系統(tǒng),若對系統(tǒng)參數a或b稍加擾動,的增加有一定的增大,但變化幅度不大,系統(tǒng)的混其MLE迅速增加,穩(wěn)定的倍周期運動轉變?yōu)榛煦玢邕\動狀態(tài)依然保持圖5給出c0=160時,系統(tǒng)運動,運動軌跡與圖3b的混沌吸引子相似1.61.60.60.51.01.52.0253.03.54.0aMLE-A曲線bMLE-A4曲線圖4MLE曲線圖(co=28)的3.02.5E2.0aMLE-A曲線bMLE-A曲線圖5MLE曲線圖(co=160)14系統(tǒng)參數受擾引起的混沌化的大小有關變參數 Lorenz系統(tǒng)的MLE比對應的定參數變參數系統(tǒng)定參數系統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)的MLE大對處在亞穩(wěn)態(tài)、倍周期分岔窗口、周期態(tài)運轉的系統(tǒng)施加系統(tǒng)參數擾動,能使制米州穩(wěn)態(tài)、亞穩(wěn)態(tài)運轉的系統(tǒng)形成混沌運動,我們把這種現象稱為系統(tǒng)參數受擾引起的混沌化.圖6的虛線表示參數為a2=10,b0-3,0=12的未受擾亞穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的x-t序列圖,兩對稱穩(wěn)定點的x坐標為x,=±5416;實線表示參數受擾系統(tǒng)的混沌運實線為系統(tǒng)在動度為1=2A-05A.=10時的混沌中國煤化工動,計算混沌運動的MLE=04719.需要指出的序列虛線為anCNMHG憂系統(tǒng)的序列圖是,系統(tǒng)混沌化所需的擾動強度大小與a0,b。和co圖6x-t序列圖解霞,等:變參數 Lorenz系統(tǒng)的動力學特性研究參數受雙邊正弦擾動,令R=A·in(ot),圖Thb2其他類型的擾動給出A=5,叫=5時的MLE=c0關系曲線,系統(tǒng)的以上討論的參數擾動都是雙邊的正態(tài)隨機擾混池區(qū)域為25