第28卷第3期攀技花學院學報2011年6月VoL 28. No. 3Journal of Panzhihua UniversityJune 2011·基礎(chǔ)理論及應用研究·Pascal定理的應用張三華(西華師范大學數(shù)學與信息學院四川南充637000搞要Pacl定理是高等幾何的一個重要定理是研究二次曲線的一個有力工具.本文利用 Pascal定理證明 Branch定理及 Desargues定理以及探討了 Pascal定理在幾何作圖和共線點等一些問題上的應用關(guān)鍵詞Paca定理; Branch定理; Desargues定理;二次曲線作者簡介張三華(1963),女四川廣安人,西華師范大學副教授。研究方向解析幾何高等幾何1引言高等幾何將二次曲線作為主要研究對象而Paca定理是研究二次曲線的一個有力工具。平面上每三點不共線的五點唯一確定一條二次曲線。已知二次曲線上每三點不共線的五點利用 Pascal定理可以作出二次曲線的其它點從而作出二次曲線以及二次曲線上一點的切線。本文利用 Pascal定理證明了Branch定理及 Desargue定理。Pacl定理是關(guān)于二次曲線的點線結(jié)合的命題,因此利用 Pascal定理可以解決關(guān)于二次曲線的點線結(jié)合問題。Pascal定理:對于任意一個內(nèi)接于二次曲線的簡單六點形,它的三對對邊的交點在一條直線上。Pacl逆定理若二次曲線簡單六點形的三對對邊的交點在同一條直線上,則此六點形必內(nèi)接于條二次曲線。如果二次曲線退化為兩條直線,則 Pascal定理就是 Pappus定理。Pappus定理:若A,B,C和D,EF為共面二直線mn上的兩組共線點,且,A,B,C,D,E,F都不是m與n的交點,若BF與EC交于G若CD與HA交于H,若AE與DB交于I則G,H,I必共線。(圖1)圖1)(圖2)2Paca定理的應用M凵中國煤化工2.1利用 Pascal定理證明 Branch定理CNMHGBranch定理是Paal定理的對偶命題因此由對偶原則直接證明 Branch定理,也可以利用射影性第28卷攀枝花學院學報第3期質(zhì)證明 Branch定理,本文是利用 Pascal定理證明 Branch定理。Branch定理:對于任意一個外切于二次曲線的簡單六線形它的三對對頂點的連線通過共點。證明:如圖2,設l1,l2,l2,l4,l3,l構(gòu)成了二次曲線r的外切簡單六線形設l1與42的交點為P2與l的交點R為與l4的交點為Gl4與的交點為Q4與l的交點為S,與l1的交點為H,1,l2,4,l4,l上的切點分別為A,B,C,D,E,F它們構(gòu)成了二次曲線r的內(nèi)接簡單六點形 ABCDEF。因此點P的極線為FA,點Q的極線CD為所以PQ的極點為FA與CD的交點L同理RS的極點為AB與DE的交點M,GH的極點為BC與EF的交點N由Pacl定理知L,M,N共線由配極原則有共線點的極線共點,即PQ,RS,GH共點。故外切于二次曲線F的簡單六線形l1,4,與,4,4,的三對對頂點的連線PQ,RSCH共點。2.2利用 Pascal定理證明 Desargues定理Desargues定理是高等幾何的重要定理之一,它的證明方法有:利用 Menelaus8定理證明 Desargues定理,建立射影坐標系,用代數(shù)的方法證明 Desargues定理,也可以利用立體幾何的知識證明 Desargues定理。本文利用 Pascal定理證明 Desargues定理。Desargues定理以O為透視心的兩個三點形ABC與AB'C,其三對對邊的交點共線。證明:如圖3設AB交AB'于L,BC交B'C'于M,CA交CA'于N,AC交B'C于S,AB交CC'于TAB交OS于U,AB交OS于V對于共線點O,B,B和A,C,S,由Paea定理的特殊情況 Pappus定理知os與AB的交點U,OC與AB的交點T,B'S與CB的交點M共線同理對于共線點O,A,A'與B,C,S有0S與B'A'的交點v,OC與BA的交點T,AS與CA'的交點N共線,對于共線點A,B',T與VV,S有AS與ⅥT的交點N,AU與V'的交點L,B'S與UT的交點M共線即三點形ABC與AB'C的三對對邊的交點共線(圖3)2.3 Pascal定理及其遞定理在幾何作圖中的應用解析幾何與高等幾何都把二次曲線作為主要研究對象 Pascal定理及其逆定理是高等幾何的重要定理,也是與二次曲線有關(guān)的命題給定確定二次曲線的五點如何作出這條二次曲線?已知二次曲線上一點如何作出二次曲線在此點的切線?如果僅用解析幾何知識是無法解決這些問題,利用 Pascal定理及其逆定理,這些問題就會迎刃而解。例1已知每三點不共線的五點,求作此五點確定的二次曲線。解如圖4設已知五點分別為P1,P2,P3,P4,P3,設P1干A計A任作直線b,設P2P3交直線b于MPP4交直線b于N;連結(jié)Pm、P1N,設PM中國煤化工定理的逆定理知P為五點P1,P2,P,P,P所確定的二次曲線上的一點CNMH次曲線上的其它點,從而作出由五點P1,P2,P3,P4,P5所確定的二次曲線第28卷張三華:Pacl定理的應用第3期(圖4)(圖5)例2已知二次曲線上一點,求作二次曲線在此點的切線。解如圖5,在已知二次曲線上任取不同于已知點P的四點A,B,C,D,對于二次曲線的內(nèi)接六點形PPABCD,作PA與CD的交點L,AB與DP的交點M連結(jié)LM,LM與BC的交點為N連結(jié)PN由 Pascal定理知PN就是所作的切線2.4利用 Pascal定理解決共線點問題在初等幾何中,有關(guān)共線點的命題是較難證明的,與二次曲線有關(guān)的共線點命題更是如此, Pascal定理是關(guān)于二次曲線的點線結(jié)合的命題,因此利用Paca定理能夠比較簡捷地證明有關(guān)二次曲線的共線點問題。例3內(nèi)接于圓的兩個三點形ABC與AB'C中,AB交A'B于P,BC交BC'于Q,CA交CA于R,求證P,Q,R共線。證明如圖6,由題意知簡單六點形ABCA'B'C內(nèi)接于圓,簡單六點形ABCA'B'C的三對對邊的交點為PQ,R,因此由Paca定理知PQ,R共線(圖6)(圖7)例4設兩個四點形ABCD與A'BCD都內(nèi)接于一條二次曲線,AB交A'B于P,BC交B'C于Q,CD交C"D于R,并且P,Q,R在一條直線上,DA交DA于S,求證S也同一條直線上。證明如圖7設CA交CA于T由已知有內(nèi)接二次曲線的簡單六點形的 ABCA'B'C三對對邊的交點為PQT,因此由 Pascal定理知P,Q,T共線。內(nèi)接二次曲線的簡單六點形ABCA'DC'的三對對邊的交點為SR,T,由Paca定理知S,R,T共線,又P,Q,R共線,故P,Q,R,R,T共線。參考文獻[1]朱德祥初等幾何研究[M]北京:高等教育出版社1985[2]梅向明等高等幾何[M].北京高等教育出版社,2000H中國煤化工[3]何青Pacl和 Desargues定理證明的另一種表述及其極限(7):142-144.CNMHG科學版),207[4]魏雪梅鄧坤貴 Pascal定理和 Desargues定理的一個推論及其應用[數(shù)學通報,200,(2):39-40