第5卷第3期2007年9動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)Vol. 5 No. 316726553/200705(3)2244JOURNAL OF DYNAMICS AND CONTROspe.2007時(shí)滯反饋Li系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為王琳倪樵黃玉盈(華中科技大學(xué)力學(xué)系,武漢430074)摘要研究了具有時(shí)滯反饋?lái)?xiàng)作用的1系統(tǒng).文中針對(duì)兩種典型的時(shí)滯反饋情形,著重分析了時(shí)滯參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響研究結(jié)果表明,當(dāng)Liu系統(tǒng)存有時(shí)滯反饋時(shí),其動(dòng)力學(xué)行為將變得異常豐富;時(shí)滯參數(shù)的改變可引起系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)演化此外,數(shù)值計(jì)算還發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯Liu系統(tǒng)的蟲(chóng)洞吸引子關(guān)鍵詞時(shí)滯反饋,Liu系統(tǒng),混沌,吸引子統(tǒng)將處于混沌狀態(tài),其混沌吸引子如圖1所示.引言自上個(gè)世紀(jì)60年代以來(lái),人們對(duì)非線性系統(tǒng)的分岔與混沌動(dòng)力學(xué)作了大量的研究,并陸續(xù)發(fā)現(xiàn)些重要的現(xiàn)象和機(jī)理.多種類型的三維混沌系統(tǒng)受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注Sma在他的一篇論文中曾指出,二十一世紀(jì)將有18類極具挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)。0°問(wèn)題,其中的14類問(wèn)題與 Lorenz吸引子相關(guān),故對(duì)圖1iu混池系統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)和類 Lorenz系統(tǒng)的研究工作具有良好的應(yīng)用前景和深遠(yuǎn)的學(xué)術(shù)意義.近二卜年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者發(fā)現(xiàn)∫一系列類 Lorenz系統(tǒng)針對(duì)這些非線性系本文采用線性DFC來(lái)研究時(shí)滯反饋對(duì)Ii系統(tǒng),主要研究了其分岔與混沌現(xiàn)象、混沌吸引子的拓統(tǒng)的影響此方法源于 Pyragas的理論為此,引入樸結(jié)構(gòu)、混沌同步和混沌控制等2最近,L等個(gè)線性的負(fù)反饋F()表示如下人提出一種新的類 Lorenz系統(tǒng)Iju系統(tǒng),該F(t)=-K[u(t-r)-u(t)]系統(tǒng)具有三維二次型的自治常微分方程組形式其中,7>0為時(shí)滯;K=[K1,K2,K3]>0是可調(diào)節(jié)本文針對(duì)Li系統(tǒng),試圖分析時(shí)滯反饋對(duì)該系的反饋增益向量:;a(4)為包含[x,y,2]的控制向統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響由于時(shí)滯的引入,L系統(tǒng)的量若將時(shí)滯反饋F(2)添加到iu系統(tǒng)的方程右微分方程將改寫成含有時(shí)滯項(xiàng)的形式本文將通過(guò)端,就得到一個(gè)新的時(shí)滯反饋系統(tǒng)其方程如下數(shù)值方法研究這一時(shí)滯反饋系統(tǒng),并展示時(shí)滯Iiua(y-x)系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為=lbx-kxz5-KTu(t-T)-u(t)], 24o(3)-cz +hx2含時(shí)滯反饋的Ii系統(tǒng)其中為初始時(shí)間.上式的時(shí)滯系統(tǒng)叮由一個(gè)初Li混沌系統(tǒng)由以下二維常微分力程組描述)始參量中(口)定解,4(1)滿足的關(guān)系為u(t=p(O, tE [to-T, to(1)若取x(L其中,a,b,c,h,h均為系統(tǒng)參數(shù).已有的研究表明,中國(guó)煤化工(5)當(dāng)參數(shù)a=10,b=40,c=2.5,k=1,h=4時(shí),I系CNMHG2006-11-30收到第1稿,20070420收到修改稿第3期王琳等:時(shí)滯反饋Lu系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為225則有系統(tǒng)處于典型的周期1運(yùn)動(dòng)若繼續(xù)增大τ的取值,系統(tǒng)將由混沌運(yùn)動(dòng)重新回到周期1狀態(tài)當(dāng)r=0.53時(shí),n(t-7)={y(t-r(6)系統(tǒng)出現(xiàn)了復(fù)雜的多周期形態(tài)(圖3(e)).值得指出的是若進(jìn)一步增大r的取值,系統(tǒng)出現(xiàn)了一種新的奇故式(3)也可寫成如下的形式怪吸引子這一奇怪吸引子還可以通過(guò)相軌線圖來(lái)展x=a(y-x)-k,(x(t-T)-x(t))示,其典型結(jié)果如圖3(所示從相軌線可以看到這y=bx-kxz-K,(y(t-T)-y(t))(7)奇懌吸引子與“蟲(chóng)洞”的形狀非常相似若分櫪它的z=-cz+hx'-K(z(L-T)-(t))功率譜圖(圖4(d),可以觀察到它的概周期特征2數(shù)值分析為了展示時(shí)滯反饋?lái)?xiàng)對(duì)Lu系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響,本文采用四階龍格-庫(kù)塔法對(duì)方程(7)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,并固定積分步長(zhǎng)為0.0025.數(shù)值仿真時(shí),系統(tǒng)(7)的所有參數(shù)都是固定的:a=10,b40,c=2.5,k=1和h=4,但時(shí)滯τ和反饋增益K12d04”一可根據(jù)需要發(fā)生改變.此外,系統(tǒng)初始值取為T