第50卷第12期2001件12月物理學(xué)報(bào)Vol 50, No, 12, December, 200110003290/2001/50(12)1289-0ACTA PHYSICA SINICA@2001 Chin. Phys. S相對(duì)論 Birkhof'系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究傅景禮》)陳立群》)羅紹凱2)陳向煒2)王新民1)(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)研究所,上海20072)(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)力學(xué)與數(shù)學(xué)物理研究所,商丘4760002000年11月23日收到;200年S月19日收到修改稿給出相對(duì)論系統(tǒng)的Birh函數(shù)和Bikh函數(shù)組、Pa作用量、 Pfaff- Birkh原理、 Birkhof方程;研究相對(duì)論動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Bdho表示方法;根據(jù)在無限小變換下相對(duì)論P(yáng)作用量的不變性和相對(duì)論Bikh方程的不變性得到相對(duì)論 Birkho系統(tǒng)的 Noether對(duì)稱性理論和lie對(duì)稱性理論;研究相對(duì)論 Birkhof系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和 Poisson分方法關(guān)鍵詞:相對(duì)論, Birkhof系統(tǒng), Noether對(duì)稱性,Iie對(duì)稱性,代數(shù)結(jié)構(gòu), Poisson積分PACC:0316,04122相對(duì)論 Pfaff-Birkhe原理與相對(duì)論Bkho方程Biho動(dòng)力學(xué)的研究始于1927年美國(guó)數(shù)學(xué)家Biho的工作.1978年美國(guó)物理學(xué)家Snli考慮定義相對(duì)論性Pa作用量時(shí)間t將該方程修改后命名為Bkho方程2,并將該方程引入力學(xué)領(lǐng)域研究了完整約束系統(tǒng)的動(dòng)力A={R:(m(,a),t,a)d-B'(m,(t,a)學(xué)問題,從此 Birkhof方程在數(shù)學(xué)力學(xué)研究領(lǐng)域受到重視.1992年我國(guó)數(shù)學(xué)力學(xué)家梅風(fēng)翔利用 Birtht,a)ldt (v=I(1)方程研究了非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題“,并給出了本文采用 Einstein求和約定式中a=a(a1,…,Birkhoff系統(tǒng)的 Noether 3理論”, Poisson理論及運(yùn)),m為;質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)論性質(zhì)量動(dòng)穩(wěn)定性理論,構(gòu)筑了Bdh系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的理論框架°. Birkhof系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)比 hamilton力學(xué)更為mo/√1-r/i=1,…,N),(2)般1, Hamilton力學(xué)理論猶如一顆參天大樹,已經(jīng)mo為i質(zhì)點(diǎn)的經(jīng)典質(zhì)量,r=i,(t,a)為i質(zhì)點(diǎn)的根深葉茂,成為當(dāng)今非線性科代物理領(lǐng)域中一速度,c為光速個(gè)最富成果而又生機(jī)勃勃的研究方向H.相信類同于文獻(xiàn)[20],不難證明在相對(duì)論力學(xué)中dBih系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論在非線性科學(xué)、近代物理領(lǐng)與6滿足交換關(guān)系,則等時(shí)變分原理域中也理應(yīng)扮演重要角色近10余年來相對(duì)論分析aRaR am aR aRam力學(xué)的研究取得了豐碩成果"m.本文將BMm6A·={(ag+am,odaa動(dòng)力學(xué)的研究從經(jīng)典力學(xué)擴(kuò)展到高速運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論力學(xué),建立了相對(duì)論力學(xué)與 Birkhof動(dòng)力學(xué)的交叉理aBaBam, ar. ar:ada" at am a論,為 Birkhof動(dòng)力學(xué)進(jìn)入近代物理研究領(lǐng)域奠定基礎(chǔ)da dt= 0y,=1,…,2n;i=1,…,N),(3)帶有交換關(guān)系國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):19972010)和河南省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):984053中國(guó)煤化工CNMHG2290物理學(xué)報(bào)daa= 8da(4)及端點(diǎn)條件B'(a)=6a(5)如果僅R不顯含時(shí)間t,則相對(duì)論 Birkhoff方程稱為相對(duì)論hf,Biho原理式中B為相對(duì)論(9)為半自治的有形式Birkhof函數(shù),R;為相對(duì)論 Birkhoff函數(shù)組令:(a)a-9B”(a)=0B’=B'(t,a)=B'(m(t,a),t,a)R=R:(t,a)=R:(m;(t,a),t,a),3相對(duì)論動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Bkh表示則有3.1相對(duì)論完整力學(xué)系統(tǒng)的 Birkho表示e-2aBam研究N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的力學(xué)系統(tǒng),第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到主動(dòng)力F;,如果系統(tǒng)只受有理想完整約束或不受aa" aa" am aa(7)約束,我們引入相對(duì)論性的廣義動(dòng)能函數(shù)3T=mac2(1-√1-P2).(15引入凝固偏導(dǎo)數(shù)和凝固導(dǎo)數(shù)記號(hào),令Ⅱ那么,原理(3)式可表為/q,分別表示把質(zhì)量當(dāng)作常量時(shí)對(duì)q,q,的偏導(dǎo)數(shù),D/Dt表示把質(zhì)量當(dāng)作常量時(shí)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)8A·=可得到相對(duì)論完整約束系統(tǒng)凝固導(dǎo)數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程aB8a"dt=0.(8)2Q,+2Ws(s=1,…,N)由積分區(qū)間[t,t2]的任意性,8a的獨(dú)立性,得到Q系統(tǒng)的相對(duì)論 Birkhof方程(16)式可表為顯式∩aBq,=g,()(s,k=1令(9)方程(17)可表為標(biāo)準(zhǔn)一階形式稱為相對(duì)論Brkh張量.(9)式表示成逆變形i'=o,o'=a,o"'=g, (gs, 9, 4).式要使方程有相對(duì)論 Birkhof形式(9),即B·Rb. aR式中則有(21)(11)為相對(duì)論 Birkhof逆變張量.一般假設(shè)對(duì)于給定的B,無論R’是否顯含時(shí)間t,方程(21e(n)≠0(12)總可表為 Cauchy-KoBarmeBcKas型的21.根據(jù) cauchyKoBareBcKas定理,方程(21)的解總是存在的因此若R,B·都不顯含時(shí)間t,則相對(duì)論 Birkhoff方程TH中國(guó)煤化工示(9)為自治的有如下形式:CNMH統(tǒng)可表為正則形12期傅景禮等:相對(duì)論 Birth系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究2291式0a"a、分取B’為相對(duì)論 Hamilton函數(shù),則(22)式自然有+FE-B廣-:(R;F.-B”}=0.(2)BihM表示,即相對(duì)論完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)都可納人引入規(guī)范函數(shù)P=P(t,a),在(29)式中相加并相減Bih系統(tǒng)eP,得到32相對(duì)論非完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Brkh表示(RF.-B+P)+戶假定系統(tǒng)除受有完整約束外,還受有非完整約束f(q,9,t)=0(B=1,…,g),(23)aB則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可表為凝固導(dǎo)數(shù)形式的 Routh方程+RF-B‘升=0(30)DⅡT°Q,+2Ys(24)由不變性條件(30)式立即得到,對(duì)于相對(duì)論Bidh在運(yùn)動(dòng)方程積分之前,可由方程(23)和(24)求系統(tǒng)(9)式如果無限小變換生成元F,/和規(guī)范函出乘子作為q,,t的顯函數(shù)2,記作數(shù)P滿足如下關(guān)系:ag ag(q,,9,,t),r. aB則方程(24)可表為顯式P(26)R2F-B'f=0,(31)方程(26)為非完整系統(tǒng)(23)和(24)式相應(yīng)完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程.如果初始條件滿足約束方程(23),即那么系統(tǒng)存在如下守恒量:f(q,q,)=0,那么方程(26給出所論非完整R,. f+P=const系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)因此,相對(duì)論非完整系統(tǒng)的 Birkhoff化于是有問題,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)完整系統(tǒng)(26)式的 Birkhof化問定理1對(duì)于相對(duì)論 Birkhof系純(9)式,如果題那么,一切相對(duì)論非完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程都有無限小變換(27)式的生成元F,∫和規(guī)范函教P滿Birkhof表示足條件(31)式,則系統(tǒng)存在形如(32)式的守恒量可見,對(duì)于給定的B,R,可由(31)式找到無4相對(duì)論 Birkhof系統(tǒng)的積分理論限小變換生成元F。,/和規(guī)范函數(shù)P,然后由(32)式找到系統(tǒng)的守恒量4.1相對(duì)論 Birkhoff系統(tǒng)的 Noether理論對(duì)于逆問題,我們假設(shè)相對(duì)論 Birkhof系統(tǒng)有r個(gè)彼此獨(dú)立的第一積分相對(duì)論 Birkhot系統(tǒng)的 Noether理論分為正問題和逆問題對(duì)于正問題,我們引入無限小變換I=I(t, a)=/(m;, (t, a),t, a)=consta'= a"+EF(t, a),(33試由該積分找到相應(yīng) Noether對(duì)稱性式中e為小參數(shù),和F為無限小變換生成元,將將(33)式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)得到(27)式代入原理(8)式并注意到積分區(qū)間[t1,l2]的(34)dt任意性,得到再將(9)式等號(hào)兩端乘以F=F-a了并對(duì)n求和aR:aR)(aB·R再將結(jié)果與(34)式相加,得到a°x(Fr-af)=0中國(guó)煤化此式可表為CNMHG2292物理學(xué)報(bào)50卷B·aR生成元∫,F,如果存在滿足(F-a"(R"a'-B)+(Ra"-B)由(35)式中a'的系數(shù)為零,得到(42)//aR, a的規(guī)范函數(shù)P,那么相對(duì)論 Birkhof系統(tǒng)存在如下守aa恒量’=RF-B'f+P對(duì)于逆問題,我們有若相對(duì)論Biho方程非退化定理4如果已知相對(duì)論 Birkhof系統(tǒng)(9)式的rdet(∴)=deaRaa/×0,個(gè)獨(dú)立的第一積分,可求得該系統(tǒng) Noether對(duì)稱性變換的生成元∫,F若∫,F。滿足確定方程(41),那故可由(35)式解得到么,該系統(tǒng)是與第一積分對(duì)應(yīng)的Iie對(duì)稱性變換,否F=n(37)則不是Le對(duì)稱性變換at令積分(33)式等于守恒量(32)式即4.3積分相對(duì)論 Birkhof方程的場(chǎng)方法I'(m (t, a), 4, a)=R F-B'f+ P關(guān)于此問題的研究見文獻(xiàn)[26」那么有定理2如果已知相對(duì)論Bh系(9)式的5相對(duì)論 Birkhoff系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)與第一積分,且選定具體的規(guī)范函數(shù)P后,由(37)Poisson積分方法(38)式可確定該系統(tǒng)的無限小變換生成元∫F,它們對(duì)應(yīng)于相對(duì)論Bth系統(tǒng)(9)式的 Noether對(duì)稱5.1相對(duì)論 Birkhof方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)性變換對(duì)于自治形式或半自治形式的相對(duì)論Bh方4.2相對(duì)論 Birkhof系統(tǒng)的Iie對(duì)稱性理論程(13)和(14),將余切叢TM上的某函數(shù)A'(a)按相對(duì)論Bdh系統(tǒng)的Lic對(duì)稱性理論見文獻(xiàn)(3)或(14)式求對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)積[25],本文給出一些結(jié)論在(27)式的無限小變換下,引入無限小變換的A(a)=ndeAB·.(44)生成元向量類似于文獻(xiàn)[27]的證明,它滿足右分配律、左分配(39)律、標(biāo)律,還滿足反對(duì)稱性和 Jacobi恒等式,那么,我以及它的一次擴(kuò)展們得到定理5自治形式和半自治形式的相對(duì)論Birkx=x+(F。-dhf方程(13)和(14),具有相容代數(shù)結(jié)構(gòu)和le代數(shù)由相對(duì)論Bho方程(9)在無限小變換下的不變結(jié)構(gòu)性,可得到相對(duì)論 Birkhol系統(tǒng)的確定方程對(duì)于非自治形式的相對(duì)論Brkh方程(10),將F.-+8余切叢T'M上的某函數(shù)A(a)按(10)式求對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)積=X°[ba:(9,9A'(a)=a-(°B+koa+a/df’g如果無限小變換(27)式的生成元f,F滿足確(45)定方程(41),就稱變換(27)式是Le對(duì)稱的那么有類似于立獻(xiàn)21的證明它不滿足右分配律、標(biāo)律定理3對(duì)于滿足確定方程(41)的無限小變換那么我中國(guó)煤化工CNMHG傅景禮等:相對(duì)論Brkh系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究2293定理6非自治形式的相對(duì)論 Birkhof方程對(duì)論Bikh系統(tǒng)關(guān)于第一積分的廣義 Poisson(10)沒有相容代數(shù)結(jié)構(gòu){21條件研究一種特殊非自治形式的相對(duì)論 Birkhof系定理9自治形式的相對(duì)論 Burke系統(tǒng)的統(tǒng)如果方程(10)中的相對(duì)論Bho函數(shù)B‘和相Bdh函數(shù)是系統(tǒng)的第一積分定理10如果自治形式和半自治形式的相對(duì)對(duì)論Biho函數(shù)組R還滿足關(guān)系論 Birkhof方程(13)和(14)有不處于相互內(nèi)旋的兩BaR(46)個(gè)第一積分H(,a)=C,l(t,a)=C2,則它們式中的廣義 Poisson括號(hào)[,也是系統(tǒng)的第一積分定理11如果自治形式和半自治形式的相對(duì)論Bh方程(13)和(14)有包含時(shí)間t的第一積(T")0T”0(47)分(t,a)=C,那么8:x,都是系統(tǒng)的第為相對(duì)論性對(duì)稱張量,可由(46)式確定那么非自治一積分形式的相對(duì)論Bh方程(10)表為如下形式定理12如果自治形式和半自治形式的相對(duì)S灬BBirkhoff方程有包含a的第一積分,而日和da" =0(48)B都不含a",則…都是系統(tǒng)的第一我們將余切叢TM上的某函數(shù)A(a)按(48)積分式求對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)積對(duì)于特殊非自治形式的相對(duì)論Bho方程B(48),在積定義(49)和(50)式下具有Lie容許代數(shù)結(jié)A'(a)=s da defa·B.(49)構(gòu),而不具有Le代數(shù)結(jié)構(gòu),那么關(guān)于積分完整保守類似于文獻(xiàn)[27]的證明,該積滿足右分配律、左分配系統(tǒng)的 Poisson理論只能部分應(yīng)用于這類系統(tǒng)律和標(biāo)律是有由積(49)式再定義一個(gè)新積定理13I‘(t,a)=I(m,(t,a),t,a)=CA·B’seA'B-B`A.(50)是特殊非自治形式的相對(duì)論 Birkhoff系統(tǒng)(48)式第不難證明它滿足Le代數(shù)公理那么有積分的充要條件為定理7特殊非自治形式的相對(duì)論 Birkhot方程(48)在積定義(49),(50)式下具有相容代數(shù)結(jié)構(gòu)和Le容許代數(shù)結(jié)構(gòu)(52)式稱為特殊非自治形式的相對(duì)論 Birkhof系統(tǒng)52相對(duì)論 Birkho系統(tǒng)的 Polsson積分(48)式關(guān)于第一積分的廣義 Poisson條件定理14B'(t,a)=B'(m1(t,a),t,a)=C自治形式和半自治形式的相對(duì)論Bho方程13)和(14)具有Le代數(shù)結(jié)構(gòu),因此,關(guān)于積分完整是特殊非自治形式的相對(duì)論 Birkhoff系統(tǒng)(48)式第保守系統(tǒng)的 Poisson理論可全部應(yīng)用于這類系統(tǒng).于積分的克要條件為是有B(53)定理87'(t,a)=I'(m,(t,a),t,a)=C是定理15如杲特殊非自治形式的相對(duì)論Birk系統(tǒng)(13),(14)式第一積分的充要條件為ho系統(tǒng)(48)式有包含d的第一積分,而S"和al+[I',B'1=0,[r,B]=BB·都不顯含n,那云8·2,…都是系統(tǒng)的第(51(證明略)(51)式稱為自治形式和半自治形式的相一積中國(guó)煤化工CNMHG物理學(xué)報(bào)50卷函數(shù)組R6討論B=B((t,a),t,a),R:=R:(l,(1.隨著科學(xué)的發(fā)展,人們的研究表明,力學(xué)系可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)論Bhof系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)理統(tǒng)的位形空間并不一定是歐氏空間,而必是微分流論形 Poincare提出用微分流形取代歐氏空間作為力學(xué)3.本文的研究具有一般性.在r