第18卷第5期上濂歡手手報(自然科學版)Vol, 18 No. 52012年10月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY NATURAL SCIENCEoct.2012DOI:10.3969/j.issn.1007-2861.2012.05.010熱格子 Boltzmann方法分析及應用陳杰,錢躍竑(上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所,上海200072)摘要:格子 boltzmann方法( lattice boltzmann method,LBM)是一種基于氣體動理論的介觀計算方法,其物理背景清晰、邊界處理簡單,已成功應用于等溫(或無熱)流動中簡要介紹現(xiàn)有的幾種熱格子 Boltzmann模型,并運用幾種熱格子模型求解熱 Couette流、方腔自然對流等典型算例,對比不同熱格子模型的數(shù)值穩(wěn)定性、準確性、模型的計算效率等將兩種熱格子模型用于多孔介質內的流動與傳熱問題中,對比熱格子模型在處理復雜結構時的數(shù)值特性關鍵詞:格子 Boltzmann方法;熱格子 Boltzmann方法;多孔介質中圖分類號:0351文獻標志碼:A文章編號:1007-2861(2012)054048907Analysis and Application of Thermal Lattice Boltzmann MethodCHEN Jie, QIAN Yue-hongShanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China)Abstract: Lattice Boltzmann method LBM)is a mesoscale computational method based on the gaskinetic theory. For solving Fourier- Navier-Stokes equations, the thermal lattice model has attracted muchresearch attention. This paper compares several thermal lattice models in terms of accuracy, stability andcomputational efficiency. The thermal flow in pore-scale porous is also studied using different thermallattice modelsKey words: lattice Boltzmann method( LBM): thermal LBM; porous media格子 Boltzmann方法( lattice Boltzmann method直在不斷地探索研究熱格子 Boltzmann模型,已形BM)是近20年發(fā)展成熟起來的一種數(shù)值計算方成了一些經過數(shù)值驗證具有模擬熱流動能力的熱法LBM基于氣體動理論,通過分布函數(shù)的演化獲LBM610,并應用于多孔介質流動與傳熱燃燒及化得宏觀信息作為一種簡單且能處理復雜流動問題學反應流、湍流等問題.本研究簡述了不同熱格子的有效數(shù)值方法12),LBM具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性、 boltzmann模型的基本理論,并通過數(shù)值分析對比了天然的并行性、簡單的邊界處理等優(yōu)點,自出現(xiàn)之日不同熱格子 boltzmann模型的計算結果及數(shù)值特性,起就被廣泛用于多孔介質流3、多相流反應擴散進而用于多孔介質流動傳熱問題中系統(tǒng)等諸多領域早期的LBM只應用于等溫流動或無熱流動)的模擬但是基于這種方法具備處理1等溫LBM基本原理復雜問題的能力以及解決傳熱問題的需要,研究者LBM中問抽數(shù)之外,無限維的粒中國煤化工CNMHG收稿日期:201140909基金項目:教育部創(chuàng)新團隊資助項目(IRT0844);上海市優(yōu)秀學術帶頭人資助項目(12XD1402300)通信作者:錢躍就(1964~),男,教授博士生導師博士研究方向為格子Boltzmann方法理論與應用.Emal:qian@shu.edu.cn490上瀋大報(自然科學版)第18卷子速度空間也都被離散成有限的速度序列.在標準平衡態(tài)分布函數(shù)是 Maxwell分布的截斷形式BM模型中,物理空間被離散成正方形(體)格子,ff =AP+Beipu+流體粒子在格點x上碰撞并按離散速度E=[e,e1,…,en-1]遷移到x+e6,格點f(x,)定義為t時2o<(ciai":8)pu,ug + D.c pu u, (5刻在格點x上速度為e的粒子密度滿足如下的格式中,A,Bn,D,為待定參數(shù)由滿足的守恒條件確子 boltzmann方程:定.平衡態(tài)包含了速度的三階項,離散速度也在f(x+e8,t+δ.)-f(x,t)D2Q9的基礎上在主坐標軸上增加了4個速度[f"(x,1)-f(x,)]Qian16采用此模型對一維激波管、二維 Rayleigh式中,為平衡態(tài)函數(shù),ω為松弛因子.通過簡單地 Benard對流進行了模擬,證明了該模型的有效性向平衡態(tài)不斷趨近的過程代替真實的復雜碰撞,即MSLBM具有良好的物理基礎,宏觀方程絕對耦BGK( Bhatnagar-Gross-Krook近似,所以此模型也稱合,已成功模擬了一些傳熱現(xiàn)象但只能模擬狹窄的為LBGK模型.平衡態(tài)分布函數(shù)的選取是LBM的關溫度范圍和較小的M數(shù),存在穩(wěn)定性問題限制了鍵,DnQm系列中均釆用該模型的廣泛應用e;·a(e,·a)2.2熵格子 Boltzman方法(ELBM)熵格子 Boltzmann方法考慮了H定理,通過在式中,,為格子聲速W為不同速度粒子的權重本守恒約束下最小化波爾茲曼H函數(shù)求解平衡態(tài)分布研究在數(shù)值模擬中均采用D2Q9模型函數(shù),由此得出的正定的分布函數(shù)保證了模型的穩(wěn)宏觀密度和速度分別定義為P=∑,=定性和準確性1. rasianakis等將ELBM拓展到熱流動問題的求解中,證實了該方法的有效性,本研∑fe:/p究參照此方法H函數(shù)定義為2熱格子 Boltzmann模型n=∑/(現(xiàn)有的熱格子 Boltzmann模型通?？梢苑譃閮纱箢?第一類是流場溫度場耦合統(tǒng)一求解的模型如多平衡態(tài)分布函數(shù)則是在滿足守恒約束條件:∑f=速格子 Boltzmann模型( multi- speed LBM, MSLBM)p,∑f!e.=pu,∑fe2=2pT+pn2的情況下,求H熵格子 boltzmann方法( entropic LBM,ELBM);另一類則是對流場與溫度場分別求解如被動標量格子函數(shù)最小值得到的具體形式詳見文獻[10]Boltzmann模型( passive scalar LBM, PSLBM)、雙分布Prasianakis等2采用在ELBM中加入高階量的補函數(shù)( double-distribution-function,DF)模型,以及其償算法較大地提高了基于DQ9標準格子的ELBM可他與傳統(tǒng)計算流體動力學( computational fluid模擬的溫差和Ma數(shù)但是模型實施較為復雜dynamics,CFD)結合的混合方法,如混合熱格子2.3雙分布函數(shù)模型Boltzmann方法( hybrid- thermal LBM, HTLBM雙分布函數(shù)模型,即存在兩個分布函數(shù):密度分2.1多速格子 Boltzmann模型( MSLBM布函數(shù)和內能(溫度或總能)分布函數(shù),其中密度分多速格子 boltzmann模型是等溫LBM模型的直布函數(shù)用于模擬速度場,而內能(溫度或總能)分布接推廣,其密度速度內能等均由速度分布函數(shù)的函數(shù)則用來模擬溫度場.溫度、內能或總能分布函數(shù)各階速度矩得到Qian1基于等溫LBCK模型,提出均通過不同的方式構造但其演化都獨立于密度分了D1Q5,DQ13,D3Q21,D3Q25熱力學LBGK模布函數(shù)型在這些模型中,除了要滿足等溫模型的守恒條件231被動標量格子 boltzmann模型(SLBM)外,還應滿足能量守恒和平衡態(tài)熱通量為0的條件被動標量格子 Boltzmann模型基于如下原理:在7=叫(+2"忽略壓力做中國煤化工兄下溫度可以看作是隨CNMHG對流擴散方程-1+)+小,()迪于賣包用周分圖模教單為改周第5期陳杰,等:熱格子 Boltzmann方法分析及應用題:組分1模擬流體的運動;組分2模擬被動的溫度式中,S為廣義源項包括壓力做的功和粘性熱耗散場.平衡態(tài)密度函數(shù)為速度場與溫度場的耦合通過在LBM中添加溫n g q= n,W1+(e:u-2}、7)度相關的外力項以及在FVM中添加廣義源項S來e·l實現(xiàn).此外,普朗特數(shù)、比熱容等熱物性以及隨溫度式中,o表示組分,兩組分共享速度,p=∑n,變化的輸運系數(shù)可以實現(xiàn)相應的調節(jié)本研究中FVM與LBM采用同一套網格系統(tǒng),FVM采用絕對∑穩(wěn)定且具有與LBM相同精度的二階迎風格式2.3.2內能雙分布函數(shù)模型second-order upwind scheme, SUS)內能雙分布函數(shù)模型最早由He等。提出,其PSLBM,DDF以及 HTLBM這類模型的一個關速度場仍用密度分布函數(shù)演化模擬,溫度場則由內鍵之處在于流場與溫度場之間的耦合,其模型往往能分布函數(shù)模擬該模型的基本思想是通過對連續(xù)不滿足氣體完全狀態(tài)方程溫度場對速度場的影響boltzmann方程進行特殊的離散得到等溫LBM,如果只是通過施加一個外力來實現(xiàn)如Cuo等針對進行同樣的操作則熱LBM可以由離散內能的演化 boussinesq方程組,通過在密度分布函數(shù)演化方程中方程得到增加一個外力項以實現(xiàn)溫度對流場的影響 Filippova根據(jù)內能的定義p=/(-)/4,引人內等“基于HBM研究了小M數(shù)下高溫燃燒,用溫度場修正密度場以滿足狀態(tài)方程.能分布函數(shù)g(r,,t)=(-)f2,并引人新的碰撞模型,得到內能分布函數(shù)滿足的演化方程3計算結果及分析8-8q,(8)為了進一步對比各類模型,本研究采用ELBMatPSLBM,內能DDF模型以及 HTLBM,對熱 Couette式中,=(5-)·[0,+(5n]然后對演化方流、封閉方腔自然對流和多孔介質內非等溫流動等程離散得到可用于數(shù)值計算的離散的分布演化方問題進行了模擬對比程,具體的離散過程詳見文獻[8]3.1熱 Couette流模擬相比于 PSLBM,內能DDF的構造更具有物理基考慮兩平板間熱 Couette流,上平板以速度U向礎,并包含了粘性熱耗散和可壓縮功相比于右運動,下板靜止,且上下平板分別保持恒溫T,TMSLBM,DF模型具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性,P數(shù)不且T>T橫截面溫度廓線的解析形式為受限制,因此被廣泛用于各種近似不可壓流體流動PrEc與傳熱問題2 H(102.4混合熱格子 Boltzmann模型( HTLBM)式中,H為平板間距離,Pr=wX為普朗特數(shù),X為熱HTLBM是指使用LBM解速度場,使用傳統(tǒng)擴散系數(shù)E=U/[Cn(T-T)]為?？颂財?shù)CFD解溫度場,并通過一定的方式相互影響這種方熱 Couette流中不考慮流體可壓縮性的影響,而法利用了LBM能簡單處理復雜流動問題的優(yōu)勢以粘性耗散效應明顯,因而分別運用ELBM,內能DDF及傳統(tǒng)CFD在傳熱問題上的成熟技術,可以處理一模型和 HTLBM對該問題進行了模擬,網格數(shù)均為些僅僅使用傳統(tǒng)CFD較難解決的復雜流動傳熱問64×64.模擬中Re=UHv=20,計算結果如圖1所題最初, Lallemand等將多速多松弛模型和有限示固定P=4,E分別為1,10和20的無量綱溫度差分法( finite difference method,FDM)相結合,提出廓線,散點為不同方法的計算值,曲線為解析解公式了混合模型,速度場用多松弛LBM求解,溫度場采(10).由圖可見,三種模型都成功模擬了粘性耗散用FDM求解效應,且與解析解吻合得很好本研究采用有限容積法( finite volume method,本工作進一步研究了三種模型的計算效率問題FM)與BM相結合的混合方法,即果用如下的圖2給出f“中國煤花仝發(fā)化曲線,可見FVM求解能量守恒方程:ELBM和H模型CNMHGd(pT),0(pxT)。a(kdr3.2封閉力日熱比cpxj封閉方腔尺寸為H(正方形邊長),左右壁面分492上降大手軍報(自然科學版)第18卷式中B為熱膨脹系數(shù)物性滿足 Boussinesq假設,這O HILBM里通過施加外力G=-B(7-7)g實現(xiàn)溫度場對速度場的影響.在方腔自然對流中,可壓縮效應以及粘性耗散Ec=10效應可忽略不計.從模型分析可以看出, PSLBM在這種情況下與DDF模型類似,而ELBM邊界實施較為復雜因此,本研究分別采用不包含粘性耗散040.60.810效應的 PSLBM和 HTLBM對該問題進行了模擬,模擬中Pr=0.71,Ra數(shù)分別為10,103和10圖3圖1熱 Couette流溫度廓線和圖4分別為HTBM在不同Ra數(shù)下流動穩(wěn)定后得Fig 1 Temperature variation of the thermal Couette now到的流線、等溫線,與以往的數(shù)值及實驗結果一致由圖3可見,隨著Ra數(shù)的增大,方腔中心的近似圓a DDF形的渦逐漸變成橢圓形,進而分裂成兩個渦.當Ra=▲ HTLBM10時,兩個渦分別向左右壁面移動,在中心出現(xiàn)了第三個渦.由圖4可見,隨著Ra數(shù)的增大,豎直的等溫線逐漸變得水平,主導的傳熱機理由導熱變?yōu)?00對流為了進一步定量考核,本研究計算了努塞爾數(shù)№u和平均努塞爾數(shù)№um,表1給出了熱壁面的Numn、最大Mu數(shù)Nm及相應位置的yMm、水平中CPU time/s心線上最大速度tm及相應的位置x、垂直中心線上圖2熱 Couette流溫度殘差變化曲線最大速度um以及相應的位置y.HTBM和 PSLBMFig 2 Temperature residuals variation of the therma求解的結果與 Barakos等5的基準解一致Couette flow同樣,本研究對 HTLBM和 PSLBM的計算效率別保持恒溫T,T,且T>T,上下壁面絕熱四壁面進行了對比,圖5所示為兩種方法模擬自然方腔對速度均為無滑移邊界方腔內充滿均質空氣,考慮向流Ra=10°時,速度殘差隨CPU時間的變化曲線下的重力描述自然對流的無量綱參數(shù)Ra數(shù)定義為可以明顯看出,兩種方法中殘差均呈現(xiàn)震蕩下降趨勢,且 HTLBM收斂快于 PSLBM,HLBM殘差收斂RTh-T)HPr到10以下時的耗時為 PSLBM的57%(a)Ra104(b)Ra=103中國煤化工方腔自然對流不同Ra數(shù)CNMHGFig 3 Predicted streamlines of natural convection第5期陳杰,等:熱格子 boltzmann方法分析及應用493(a)Ra=104(b)Ra=10(c)Ra106圖4方腔自然對流不同Ra數(shù)的等溫線Fig 4 Predicted temperature profiles of natural convection表1數(shù)值解與基準解對比Table 1 Comparison of numerical results between thermal models and benchmarksRa數(shù)模型№ua(y/Hun(y/HPSLBM2.2473.538(0.1410.194(0.824)0.234(0.121)0.234(0.121)Barakos等163.539(0.140.234(0.119)PSLBM4.5127827(0.0750.128(0.854)0.256(0.065)Ra=107.723(0.085)0.134(0.854)0.260(0.065)4.5107636(0.085)0.132(0.859)0.258(0.066)PSLBM17.454(0.033)0.079(0.852)0.261(0.037)Ra=10°HTLBMl7435(0.040)0.081(0.854)0.263(0.040)Barakos等168.80617442(0.037)0.077(0.859)0.262(0.039)動上有明顯的優(yōu)勢及較高的計算率.對于多孔介質內流動與傳熱的問題,以往使用比較廣泛的是BM-5PSLBM和內能DDF模型.本研究將 HTLBM用于多孔介質流動與傳熱分析中,并與 PSLBM進行了對比本研究分析了分形多孔介質中的自然對流,分形結構采用 Sierpinski地毯,依次對分形等級N=2和3的 Sierpinski情況進行了模擬.無量綱控制參數(shù)Pr=0.71,Ra數(shù)分別為10,103和10°,固體區(qū)域溫0100020003000400050006000度保持線性溫度分布圖6為采用 HTLBM計算NCUP time/s2分形結構內自然對流得到的流線圖,圖7為相應圖5方腔自然對流速度殘差變化曲線的等溫線由圖可見,模擬結果與 PSLBM一致,隨rg5 Velocity residuals variation of the natural convection Ra數(shù)的逐步增大,傳熱機理由導熱主導變化為對流主導圖8為N=3,Ra=10°時的流線圖及等溫線3.3多孔介質非等溫流動模擬由圖可見,固體的增多明顯地抑制了對流作用多孔介質內部結構十分復雜,其流動傳熱現(xiàn)象同樣對V中國煤化工題上和PSLBM也相當復雜格子 boltzmann方法在模擬孔隙內的流進行了對CNM凵左方法模擬N=2體運動時可以方便地使用反彈格式處理復雜流場分形結構時以是及叫以,此 HTLBM耗時為因此,該方法在孔隙尺度模擬多孔介質內部復雜流FLBM的76%,仍具有優(yōu)勢上藻軍手報(自然科學版)第18卷(b)Ra=10(c)Ra=10圖6多孔介質方腔自然對流流線(N=2)Fig 6 Predicted streamlines of porous cavity(N=2)(a)Ra=104(b)Ra=105圖7多孔介質方腔自然對流等溫線(N=2Fig 7 Predicted temperature profiles of porous cavity (N=2)(b)等溫線圖8多孔介質方腔自然對流流線及等溫線(N=3)Fig 8 Predicted streamlines and temperature profiles of porous cavity (N=3)4結論MSLBM, ELH中國煤化工型及 HTLBM),并運用不同CNMHG型算例以及多本研究簡要介紹了幾種熱格子 Boltzmann模型孔介質流動傳熱問題,得到如下結論第5期陳杰,等:熱格子 Boltzmann方法分析及應用495[5]李青,徐旭峰,周美蓮三維斑圖形成的格子Boltzmann方法模擬[J.上海大學學報:自然科學版,HTLBM2007,13(5):516518[6] QIAN Y H. 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