第32卷第5期江西科學Vol 32 No 52014年10月JIANGXI SCIENCEOct.2014dol:10.13990/j.isnl001-3679.2014.05.003四模 Lorenz系統(tǒng)的全局動力學研究李德雪,尹社會(河南工業(yè)職業(yè)技術學院,473000,河南,南陽)摘要:通過理論和數(shù)值模擬分析了一個四模Irem混沌系統(tǒng)的非線性特性和全局動力學行為。從對稱性、耗散性、平衡點的穩(wěn)定性、空間相圖、時序波形圖、分岔圖等幾個方面展示了系統(tǒng)具有豐富的動力學行為。關鍵詞:四模 Lorenz混沌系統(tǒng);分岔;耗散性;最終有界集中圖分類號:03571;024182文獻標識碼:A文章編號:1001-3679(2014)05-0578-04Global Dynamics of a Novel Nonlinear Chaotic SystemLI Dexue. YIN ShehuiHenan Polytechnic Institute, 473000, Nanyang, Henan, PRC)Abstract: The globally exponential attractive set and non-linear characteristic properties of a fourmodes Lorenz chaotic system is further investigated by theoretical and simulative analysis. From sym-metry,dissipation, the stability of the equilibrium point, the phase diagram, time domain waveformand bifurcation diagram show the novel chaotic system has rich dynamic behavior.Key words: four-modes chaotic system; bifurcation; dissipation ultimate bounded set0引言引集的指數(shù)估計,并給出嚴格證明。數(shù)值仿真給出了系統(tǒng)的相圖時序波形圖、分岔圖等,結果表混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的明了本文方法的可行性和有效性。不規(guī)則運動,但與真正的隨機運動又有著本質的區(qū)別?；煦邕\動在動力學上是確定的,運動的內1數(shù)學模型及其主要結果部不穩(wěn)定性導致了其運動的不可預測性?；煦缦低踬R元等研究的一個四模 Lorenz混沌系統(tǒng)統(tǒng)產(chǎn)生的混沌運動具有幾個重要特征:初值敏感的方程為9性,臨界水平和分形維。奇怪吸引子是相空間x=-x-y2+0.5z2+0.52+2c中的一個點集,隨著運動時間的增加,所有軌線都y=-y+xy-z-0.5z2+0.502趨向于它。自從 Lorenz在一個簡單的三維自治(1)z=-z+0.5yz+0.5y-0.5xx-0.5x系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)了蝴蝶混沌吸引子之后,又有新的混沌吸引子不斷被發(fā)現(xiàn),尤其是這些混沌系統(tǒng)u=-+0.5xz+0.5y2-0.5x-0.530其中:(x,y,z,v)∈R為狀態(tài)變量,c為系統(tǒng)實的最終有界性被許多研究者所認識和研究8。參數(shù)。本文進一步考慮文獻[9]所提出的混沌系統(tǒng),通過構造新的廣義李雅普諾夫函數(shù)簇給出了新的吸當c=11時,初值取(1,3,3,3),系統(tǒng)(1)的收稿日期:2014-06-26;修訂日期:2014-08-08中國煤化工作者簡介:李德雪(1977-),女,河南南陽人,碩士,講師,主要從事非線性CNMHG研究?；痦椖?南陽市科學技術發(fā)展規(guī)劃項目(2013Gc035)。第5期李德雪等:四模 Lorenz系統(tǒng)的全局動力學研究579軌線的相圖如圖1所示,各個變量隨時間演化的時序波形圖如圖2所示。如果初值發(fā)生細微的變化,系統(tǒng)的行為會發(fā)生明顯的變化,如圖3所示為初值取(1,3,3,3)和(1,3.0001,3,3)的時序圖形8圖4系統(tǒng)(1)在x對c∈[0,20的分岔圖圖1系統(tǒng)(1)在參數(shù)c=11下的軌線相圖00120140160180圖5c=-1時系統(tǒng)(1)的相圖圖2系統(tǒng)(1)在參數(shù)c=11下各個變量的時序波形圖圖6c=4時系統(tǒng)(1)的相圖圖3系統(tǒng)(1)在參數(shù)c=11下初值(1,3,3,3)和(1,3.0001,3,3)下的敏感性時序波形圖70隨著參數(shù)c∈[0,20]的變化,系統(tǒng)表現(xiàn)出極限環(huán)(周期軌或擬周期軌)和奇怪吸引子等不同的非線性行為,即出現(xiàn)Hopf分叉和混沌現(xiàn)象。下面通過數(shù)值模擬可以驗證圖4中的結論。THe牌江西科學2014年第32卷8:)9羅3圖8c=9時系統(tǒng)(1)的相圖圖12c=18.7時系統(tǒng)(1)的相圖圖9c=10時系統(tǒng)(1)的相圖圖13c=20時系統(tǒng)(1)的相圖圖10c=16時系統(tǒng)(1)的相圖圖14c=30時系統(tǒng)(1)的相圖2系統(tǒng)的界估計及數(shù)值仿真定理1:集合Ω=1(x,y,z,)1(x-c)2+y220020-20+z2+2≤c2,(c∈R)是系統(tǒng)(1)的正向不變集和最終有界集。證明:令V=[x2]為廣義正定,徑向無界的 Lyapunov函數(shù),對v沿系統(tǒng)(1)的軌線對時間求導有,圖11c=17時系統(tǒng)(1)的相圖dyd t中國煤化工2ax-x2CNMHG0.5x2+0.5x0.5yz2+0.5yu2第5期李德雪等:四模 Lorenz系統(tǒng)的全局動力學研究581·-z2+0.5yz2+0.5y0-0.5x2-0.5x-12+0.5本文研究了參數(shù)c變化時系統(tǒng)(1)的部分動x+0.5y-0.5x2-0.5y2=-x2-y2-2-力學行為和全局吸引集,并且給出了相應的計算機仿真。由于該系統(tǒng)具有豐富的動力學行為,其令V=1(=0,可以得到四維超球面r:中混沌機理和分叉現(xiàn)象的研究還有待進一步探索r={(x,y,z,vo)1(x-c)2+y2+2+u2=e2,(c∈R)}。參考文獻:在r外部,V<0,在F內部,V>0,因此,函數(shù)1]呂金虎混沌時間序列分析及其應用[M]武漢:武V(X)=V(x,y,z,)=x2+y2+2+v2只能在r漢大學出版社,2002.上取得最大值,如果記函數(shù)V(x,y,x)在r上的最2] Lorenz e n. Deterministic non-periods flows[J.JA大值為R,即,g(x,y,2)=Foms sci,1963,20(2):130-141[3]尹社會,張勇,張付臣,等,基于 Lorenz系統(tǒng)的強迫對于集合Ω={(x,y,,m)1(x-c)2+y2+z2Lorenz混沌系統(tǒng)的動力學研究[J.東北師范大學+12≤c2,(c∈R)},有rCg。應用反證法易證學報(自然科學版),2014,46(1):42-47imp(X(t,to,X),)=0。即集合Ω是系統(tǒng)[4]尹社會張勇徐鵬飛.一個三維混沌系統(tǒng)的動力學工→十(1)的正向不變集和最終有界集。行為及反饋同步[J]江西科學,2013,31(6):717當參數(shù)c=11時,系統(tǒng)(1)的最終界估計為,g={(x,y,,m)1(x-c)2+y2+2+u2≤121,其5]尹社會,張付臣,張光云,等 Navier-Stokes方程的動中Ω在空間0-xz空間中的投影如圖15所示。力學研究[J/OL].計算機工程與應用,htp://ww.ki. net/kcms/detail/11. 2127. TP. 20130715 0936[6]張勇,尹社會,張付臣,等新混沌系統(tǒng)的全局動力學研究[JOL].計算機工程與應用,htp://wwwcnki. net/kcms/ detail11. 2127. TP. 20131017 1526004.htm.[7]張勇,尹社會,張光云,等多維混沌系統(tǒng)的全局動力學研究[J/OL].計算機工程與應用,htp://wcnki. net/kcms/ detail/11. 2127. TP. 20131017. 1526005. html[8]屈元舉,謝芳森沈艷菲.一個新混沌系統(tǒng)的動力學圖15當t→+∞時,系統(tǒng)(1)的正半軌線包含在研究和電路仿真[J].江西科學,2010,28(1):54三維球內3結論[9]王賀元,鞠春賢.四模 Lorenz系統(tǒng)的動力學行為及其數(shù)值模擬[J].高等學校計算數(shù)學學報,2010,32(2):99-105H中國煤化工CNMHG