考試周刊2013年第105期球與泰勒公式的應用程翀(邵陽學院理學與信息科學系,湖南邵陽422000摘要:泰勒公式在數(shù)學中有眾多應用本文論述了泰勒3泰勒公式在求極限中的應用公式在近似計算、求解函數(shù)的極限等方面的應用用泰勒公式計算函數(shù)極限的實質是計算極限時忽略較高關鍵詞:泰勒公式近似計算極限階的無窮小,尤其是型極限的求解此時只需把分子、分母1泰勒公式展開到同階的無窮小即可定理1:設函數(shù)f(x)在點x的某個鄰域內具有直到階n+1的導數(shù)則對該鄰域內異于x的任意點x有(x)=(x)+(x)(x-x)例2:求極限lmx sInxX一X。)+·x,)+R(x)x-+0(x)+0(x)其中R(x)(x-x)”(介于x與x之間)時,稱為例3:求極限lmx-xM15)6(n+1)!帶拉格朗日型余項的n階泰勒公式,其中(R(x)=0(x-x0))時,稱為帶皮亞諾( Peano)余項的n階泰勒公式2泰勒公式在近似計算中的應用解:m(x-xn(1+1)=imx2(1-11+(1)=用泰勒公式進行近似計算的實質是按照精度要求忽略掉小于精度的誤差例1:計算hn12的值,使誤差不超過0.0001在解決有些問題時將泰勒公式與我們已熟知的等價無窮解:令(x)n(1+),由r(x)=1-,…,r"(x2(-1)“(m-小方法相結合可將問題進一步簡化得例4:求極限lmianx一X(1+x)x(arcsinxf(0)=0,f(0)=1,…,f(0)=(-1)(m-1)!,f"()=(-1X++0(x)-x-+o(X)解:imtanx一Xn!(1+5)于是f(x)=ln(1+x)在原點的泰勒展開式為in(1+x)=x-G9(外于(+3mm0-3一出嗎2+3+…+(-1)”x+(-1)x通過上面的幾個例子,可以看出利用泰勒公式求解某些0與x之間)函數(shù)的極限簡潔、方便,從而準確、高效地解決一些數(shù)學問所以ln(12)=0.20.220.23+…+(-1)~10.2參考文獻(-1)02(介于0與0.2之間)[1]同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學(第五版)[M]北京:高等(n+1)(1+)教育出版社,2001139-145且R(02)=(02)[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)[M]北京:高<(0.2)=00000405<02)等教育出版社,2002.(n+)(1+)°[3]南京大學數(shù)學系,數(shù)學分析習題全解[M]合肥:安徽因此lnl2≈0.2-002+0.00267000040+0.00006-0.1823人民出版社,1999中國煤化工CNMHG55