第25卷第4期增刊儀器儀表學(xué)報(bào)2004年8月Simulink環(huán)境下的 Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)仿真徐鵬王代華(重慶大學(xué)光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重慶40004)摘要以經(jīng)典的 Newton-Euler法建立的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)6-UPS( universal- prismatIc- spherical) Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ),詳細(xì)介紹了使用仿真工具 Simulink按照并聯(lián)設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)的 Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)并行仿真方案,并給出了仿真結(jié)果。經(jīng)初步分析表明仿真結(jié)果與實(shí)際情況的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是吻合的。關(guān)鍵詞 Stewart平臺(tái)、動(dòng)力學(xué)建模、創(chuàng)mm協(xié)真Dynamic Simulation of Stewart Platform in SimulinkXu p(Key Laboratory of Opto-electronic Technology and Systems of MOeChongging University, Chongqing, 400044, ChinaAbstract Based on the dynamic model of an 6-UPS (universal-prismatic-spherical)Stewart platform establishedusing Newton-Euler approach, the simulating scheme of the 6-UPS Stewart platform's dynamics in Simulink isproposed and developed according to the parallel design idea. also the simulation results are presented and analyzed, which shows that the simulation results are consistent with the practical motion situation of the 6-UPSStewart platformKey words Stewart platform Dynamic modeling Simulink simulation人(利用簡(jiǎn)化的模型首先建立了 Stewart平臺(tái)的La-grangian方程;Ji專門研究了 Stewart平臺(tái)支腿的慣量效果;Wang和 Gosselin利用虛功原理建立了Stewart平臺(tái)是德國(guó)人 Stewart提出的一種六自 Stewart平臺(tái)的反向動(dòng)力學(xué)方程; Dasgupta和由度并聯(lián)機(jī)構(gòu),由于它較串聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高精 Mruthyunjaya使用 Newton-Euler方程在考慮支腿度、負(fù)載能力強(qiáng)以及高靈敏度等優(yōu)點(diǎn),得到學(xué)術(shù)領(lǐng)域和和平臺(tái)上所有約束力和外力或矩的影響下建立了應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。就學(xué)術(shù)領(lǐng)域而言, Stewart平臺(tái) Stewart平臺(tái)最具一般性的閉環(huán)動(dòng)力學(xué)方程的研究方向主要集中在運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩大領(lǐng)域。在由于 Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的重過(guò)去幾十年中在運(yùn)動(dòng)學(xué)領(lǐng)域取得的理論成果頗豐;由要性,怎樣通過(guò)仿真手段把復(fù)雜的模型清晰地表達(dá)出于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的多體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜性,因而在動(dòng)力來(lái)并且具有很好的并行運(yùn)算性能?這里以 Dasgupta學(xué)領(lǐng)域的研究文獻(xiàn)相對(duì)較少。在2000年 Dasgupta發(fā)的建模思想為基礎(chǔ),詳細(xì)介紹在 Simulink環(huán)境下,按表的綜述性文章中列出的1998年之前的這方面的文照并聯(lián)設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)的 Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)并行仿真獻(xiàn)不到10篇。早期在這方面研究的是 Fichter和方案,并給出了仿真結(jié)果。經(jīng)過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的初步分析Merlet等人,之后Do和Yang首先利用 Newton-表明直結(jié)果氣定際情況的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是吻合的,說(shuō)明Euler方法在忽略連接鉸摩擦以及支腿上的旋轉(zhuǎn)慣量建立中國(guó)煤化工的的情況下推導(dǎo)出 Stewart平臺(tái)的逆動(dòng)力學(xué)方程;Liu等CNMHG全國(guó)優(yōu)秀博士學(xué)位論文作者專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目第4期增刊Simulink環(huán)境下的 Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)仿真119在支腿和上下平臺(tái)的連接點(diǎn)上。由文獻(xiàn)[9]可知,采用2 Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)模型Newton-Euler法建立的 Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程可表示如下:Stewart平臺(tái)的原理是由 Stewart提出的作為飛行模擬器的一種機(jī)構(gòu),它由上下兩個(gè)平臺(tái)和6個(gè)可伸縮運(yùn)動(dòng)的支腿構(gòu)成。根據(jù)支腿和上下平臺(tái)連接方式m=HF+(1)XM的不同又出現(xiàn)多種類型 Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)。其中最為典型和最為一般性的就是6-UPS( universal-prismatic式中:J=J+2J,=+∑nspherical)FA 6-SPS(spherical-prismatic-spherical)plMEMR種機(jī)構(gòu)類型。上平臺(tái)和支腿都采用球型鉸連接,支腿上下部分通過(guò)滑動(dòng)鉸連接,前者的支腿和下平臺(tái)通過(guò)方MR IM(RE, RRT)向結(jié)連接,而后者通過(guò)球型鉸連接。這里闡述的動(dòng)力學(xué)模型是以6- UPS Stewart平臺(tái),如圖1所示。為研究對(duì)Lg QQ象,對(duì)于后者的動(dòng)力學(xué)方程要額外考慮球型鉸軸的旋M{c×(u×R)-g轉(zhuǎn)力矩?！羖+MRX{a×(a×R)-g采用 Newton- Euler法建立6- UPS Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型的大致思路是:假設(shè)要求的上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)q1×V,一fH=[s(q×s)了,加速度和角加速度已知,通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣用任務(wù)空間狀態(tài)來(lái)表示在固定坐標(biāo)系中各矢量關(guān)F=lF, F2 F, F. Fs F]系;通過(guò)對(duì)支腿的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的分析,建立支g=Xp,R=XRo, ra=Trao腿的 Newton-Euler動(dòng)力學(xué)方程,求出各個(gè)支腿對(duì)上平r=T(v+r)臺(tái)的作用力,再分析上平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,把I=TlT支腿對(duì)平臺(tái)的作用力帶入到對(duì)上平臺(tái)建立的 Newton. -TLL.m, L 'diag(00 1)]TEuler方程中,化簡(jiǎn)并最后得出整個(gè)平臺(tái)的閉環(huán)動(dòng)力2s· r, myra2+mL學(xué)方程L(sT '+r s)latform FrameU[m(s×r4)(s×r)2+mn(s×r)(s×r)-s(L4+L)s]U(s×U1-2LW),U:=U2×rd+W×(Wrd),W×(W×rn)+2LW/ Base francU=mr4×U3+mnrn×U4+W×(I4+I)W-(mr+mnrn)×g+CW+ff圖1平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖圖2 Stewart平臺(tái)支腿示意圖=C,(W-)圖2表示了平臺(tái)中各參考坐標(biāo)系和基本矢量關(guān)V=(ms·U4+C.L+ms·g)s-s×U3系,在上下平臺(tái)的幾何中心O和O(參考圖1)分別建以上各式中符號(hào)的物理意義見(jiàn)附錄1和附錄2。立固定在平臺(tái)上的坐標(biāo)系P(任務(wù)空間坐標(biāo)系)和B由式(1)在已知平臺(tái)受到的外力和外力矩的條件下,通(固定坐標(biāo)系)。O在O.中的矢量為t,在坐標(biāo)系P中過(guò)YHs中國(guó)煤化工任務(wù)空間狀態(tài);反之,從O到各支腿和上平臺(tái)的連接點(diǎn)的矢量為p在坐標(biāo)如果系B中從O到各支腿和下平臺(tái)的連接點(diǎn)的矢量為b。動(dòng)CAMH由式(1)求出相應(yīng)的主可刀工態(tài)作為反饋信號(hào)通過(guò)另外,在每個(gè)支腿的上下部分(分別用下標(biāo)u和d表示事先設(shè)計(jì)好的控制器來(lái)控制輸出的主動(dòng)力,得到期望上支腿和下支腿)都有一個(gè)本地坐標(biāo)系L,坐標(biāo)系固定的空間狀態(tài)。仿真結(jié)果正是基于這一思想得出的120儀器儀表學(xué)報(bào)第25卷算模塊也是同時(shí)獨(dú)立運(yùn)行的,最后輸出的參數(shù)由式(1)3 Simulink仿真方案解出平臺(tái)任務(wù)空間中的線性加速度和角加速度,分別通過(guò)一次積分和二次積分得到線性速度和角速度以及使用 Simulink6.0仿真環(huán)境,根據(jù)6- UPS Stewart位置和角度矢量。把數(shù)值積分得到的以上四個(gè)矢量作平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型,按照并行設(shè)計(jì)的思想設(shè)計(jì)的為系統(tǒng)反饋送給支腿動(dòng)力學(xué)模塊、平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模塊和Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)仿真方案如圖3所示。在封裝的控制器模塊,循環(huán)運(yùn)行就得到了整個(gè)時(shí)間軸上的任務(wù)Parallel-Six-Legs-Dyn模塊中六個(gè)支腿的動(dòng)力學(xué)求解空間狀態(tài)。是同時(shí)獨(dú)立運(yùn)行的如圖4所示,而支腿和上平臺(tái)的運(yùn)Integrator IntegratorParalle Six Legs DynProductIControllerOritentation圖3平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)仿真方框圖MATLABMATLAB北FunctionSelectorLegs dynCMATLABMtaskJMATLABSelectorLego Dyn圖4六支腿動(dòng)力學(xué)并聯(lián)仿真框圖圖5PD控制框圖為了使系統(tǒng)很好地跟蹤期望的任務(wù)空間狀態(tài)在K,=[4×104×1054×105×105×1041×10°],仿真方案中設(shè)計(jì)了一個(gè) PD Controller模塊,如圖5所K,=[1×101×102×101×101×1032×10°]示。其輸入是任務(wù)空間狀態(tài)和期望的任務(wù)空間狀態(tài),輸出是各支腿上的主動(dòng)力。PD控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式如下4仿真結(jié)果及分析中國(guó)煤化工diag(K,(1 3))(ta-t)+diag(K, (1 t 3))(t-t)CNMHG的動(dòng)力學(xué)模型和diag(K2(4:6))(-0)+diag(K,(4:6))(a-a)(2)sm提供的系數(shù)參數(shù)和式中K和K,是PD控制器比例增益系數(shù)和微分增益初始量運(yùn)行仿真模塊,仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。在系數(shù),且仿真過(guò)程中采用四階龍格-庫(kù)塔數(shù)值微分算法,仿真時(shí)第4期增刊Simulink環(huán)境下的 Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)仿真間為0.1s,最小步長(zhǎng)為0.001s。另外,由于重力對(duì)系統(tǒng)定角度,再反向回到初始角度,同時(shí)繞x軸和y軸旋的動(dòng)力學(xué)特性有著非常明顯的影響,并且有可能使數(shù)轉(zhuǎn)一定角度并且方向相反,再反向回到初始角度。這與值運(yùn)算發(fā)生奇異。因此,仿真結(jié)果是在平衡了重力的情六自由度平臺(tái)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)過(guò)程是吻合的。圖7同樣表況下得到的數(shù)值結(jié)果明各支腿在0.014s的時(shí)間內(nèi)逐漸趨向于期望空間狀從仿真結(jié)果中可以看出,在經(jīng)過(guò)大概0.01s的時(shí)態(tài)相對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)空間狀態(tài),從圖中也能清楚地看到在間平臺(tái)運(yùn)動(dòng)到期望的結(jié)果。從圖6中更清楚地反映了達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之前有一個(gè)峰值,這也正好與任務(wù)空間平臺(tái)從較低的位置運(yùn)動(dòng)到較高的位置的全過(guò)程:上平狀態(tài)到達(dá)期望狀態(tài)前所做的運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)。臺(tái)在z軸方向上一直上升,而x軸和y軸方向上先做由于篇幅限制,本文省略了任務(wù)空間狀態(tài)上平臺(tái)偏離初始位置的正向運(yùn)動(dòng),待回到初始位置的時(shí)候,再的線性速度和加速度、角速度和角加速度以及執(zhí)行空做反向偏離運(yùn)動(dòng),最后再回到初始位置,而且x軸和y間狀態(tài)的支腿速度和角速度的仿真結(jié)果軸方向的運(yùn)動(dòng)是相反的;角度的運(yùn)動(dòng)是先繞z軸旋轉(zhuǎn)a 620.10010.598a576090.050.050,100.050.10010(a)支腿1(b)支腿2(c)支腿3x10 Theta200.6550.654405。060:60.050.1(d)支腿4(e)支腿5(f)支腿6圖6 Stewart平臺(tái)任務(wù)空間狀態(tài)仿真結(jié)果圖7 Stewart平臺(tái)驅(qū)動(dòng)空間狀態(tài)仿真結(jié)果Proc. Inst. Mech Eng, 1965, 180: 371-386.5結(jié)論2 B Dasgupta, T S. Mruthyunjaya. The Stewart platformmanipulator: a review Mechanism and Machine TheoryNewton- Euler法作為解決剛體動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典方2000,135:15~40.法,由于具有直觀性強(qiáng)和物理概念清晰等特點(diǎn),也是解3E.F. Fichter, A Stewart platform-based manipulator決并聯(lián)多體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的主要手段之一。由于并聯(lián)多general theory and practical construction. Int. J.體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題自身的復(fù)雜性,充分利用計(jì)算機(jī)仿Robotics res.,1986,5(2):157~182真的手段,尤其使用具有對(duì)矩陣運(yùn)算比較有優(yōu)勢(shì)的4 J. P. Merlet Parallel manipulators, Part I: Theory, deMatlab/ Simulink作為仿真工具是解決這類復(fù)雜問(wèn)題 gn, kinematics,dynamics and contro. Technical Report的重要手段。在經(jīng)典的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)6-UPSt 646 INRIA, France, 1987.Stewart平臺(tái)的 Newton- Euler模型的基礎(chǔ)上使用仿真5W.Q.D.Do,D.c.H.Yang. Inverse dynamic analysis工具 Simulink按照并聯(lián)設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)了 Stewart平臺(tái)and simulation of a platform type of robot J. of Robotic動(dòng)力學(xué)仿真方案,對(duì)仿真結(jié)果的初步分析也表明設(shè)計(jì)Systems,1988.5(3):209~227中國(guó)煤化工wis, Kinematic analysis的仿真方案是正確的。CNMH GOr IEEE Tran. on In參考文獻(xiàn)dustrial Electronics, 1993, 40(2): 282-293.7 Z Ji. Study on effect of leg inertia in Stewart platform1 D. Stewart. A Platform with Six Degrees of FreedomIEEE Proc. of Int. Conf. on Robotics and Automation122儀器儀表學(xué)報(bào)第25卷1993,121~1R=[0.040.03-0.06]8J.wang,C.M. Gosselin. A new approach for the dy-萬(wàn)向節(jié)、圓柱鉸、和球鉸的粘滯阻尼系數(shù):namic analysis of parallel manipulators. Multibody SysnamIcs萬(wàn)向節(jié)固定軸的單位矢量:9 B Dasgupta, T S. Mruthyunjaya Closed-form dynamic0.81410.23080.9535quations of the general Stewart platform through NewK=0.27140.92310.2860ton-Euler approach Mech Mach. Theory, 1998, 33(7):0.00000.30770.09530.00000.0000993~1012.支腿和上下平臺(tái)的鉸點(diǎn)分別為:30.30.0-0.2-0.150.15附錄1=0.00.20.30.1-0.2-0.15t、、t上平臺(tái)位置矢量、速度矢量、加速度矢量0.10.00.0-0.1-0.05-0.05上平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)方向矢量、角速度矢量、角加速0.60.1-0.3-0.30.2度矢量;b=0.20.50.3-0.4-0.3-0.2W—支腿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量L、L—支腿的長(zhǎng)度、支腿的線性速度;上下支腿的質(zhì)量:m=5.0,m4=3.0,X—任務(wù)空間坐標(biāo)系到固定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣;上平臺(tái)的質(zhì)量:M=40.0T—支腿本地坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣,由s上下支腿的重心位置和k決定;r=[-0.6-0.080.08s—支腿的單位矢量;rdo=[0.40.14-0.18];g-重力加速度矢量;上下支腿的慣量:F—支腿上的主動(dòng)力;0.0050.0020.002Fx、Mx-上平臺(tái)在任務(wù)空間坐標(biāo)系中受到的外力L=|0.0020.0020.001和外力矩;0020.0010.0~—表示矢量叉乘轉(zhuǎn)換為矩陣乘積的運(yùn)算。0100.0050附錄20.0050.0020.003任務(wù)空間初始狀態(tài)和期望狀態(tài)分別如下:0070.0030.001to=[0.1395]上平臺(tái)和支腿的慣量e=[00-0.2]radta=[0.100.4]ml=|0.0030.0400.0034=[00-0.2]rad;0040.0030.100平臺(tái)和負(fù)載的重心位置一·“(上接第115頁(yè))間的相對(duì)誤差均方根RMS值是隨模態(tài)階次的增高而2Z.Y.Shi,S.S.Law,L.M. Zhang, Damage localization增大的,在前5階的相對(duì)誤差均方根值在5%~6%之by directly using incomplete mode shapes. Journal of內(nèi)。該結(jié)果表明可以用MSC/ Patran( Nastran)對(duì)拱結(jié)Engineering Mechanics, 2000, 126(6): 656--660構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬并可計(jì)算得出誤差較小的前5~6階3A. Rytter,M. Krawczuk,P.H. Kirkegaard. experI-模態(tài)。mental and numerical study of damaged cantileverJournal of Engineering Mechanics, 2000, 126(1): 60-參考文獻(xiàn)651李國(guó)豪.橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(dòng).北京:中國(guó)鐵道出版社,1992H中國(guó)煤化工實(shí)驗(yàn)修正結(jié)構(gòu)有限元分CNMHG