2012年03月內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)Mar.2012第18卷第2期Journal of Inner Mongolia University for NationalitiesVol 18 No. 2偽除法及其應(yīng)用白根柱,孫飛(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古通遼028043〔摘要〕本文利用偽除法很妤地解決了有理系數(shù)多項(xiàng)式帶余除法運(yùn)算中出現(xiàn)分式系數(shù)的問(wèn)題?？蓱?yīng)用于求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式并求滿(mǎn)足丟番圖方程八(x)u(x)+g(x)n(x)=(f(x),g(x)的u(x),(x)以及判斷多項(xiàng)式八(x)有無(wú)重因式?！碴P(guān)鍵詞〕偽除法;帶余除法;最大公因式;重因式〔中圖分類(lèi)號(hào)〕015〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕A〔文章編號(hào)〕1671-0185(2012)02-0001-021引言在高等代數(shù)中,我們討論了域上的一元多項(xiàng)式環(huán),這樣的環(huán)是 Euclid整環(huán)。而在 Euclid環(huán)上是可以進(jìn)行帶余除法運(yùn)算的,這使得我們能夠容易地處理給定的問(wèn)題。但是有時(shí)很多研究對(duì)象不是 Euclid整環(huán),比如說(shuō)整數(shù)環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)。又如對(duì)某一多元多項(xiàng)式,當(dāng)把它看成某一未定元的多項(xiàng)式時(shí),它的系數(shù)是其他未定元的多項(xiàng)式,這種觀點(diǎn)下的多元多項(xiàng)式全體就是一個(gè)環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán)?；趩?wèn)題的需要,我們必須討論環(huán)上的多元多項(xiàng)式環(huán)2定義和主要結(jié)論設(shè)D是一個(gè)整環(huán),D上的一元多項(xiàng)式的定義和次數(shù)同高等代數(shù)22我們討論D上的一元多項(xiàng)式的全體D(x。設(shè)給定的多項(xiàng)式A∈D[x]的次數(shù)為deg(A)=n,A中的乘冪x的系數(shù)為an,則稱(chēng)ax為A的領(lǐng)式記為lm(A)=anx,an稱(chēng)為A的領(lǐng)項(xiàng)系數(shù),記作c(A)=an,x稱(chēng)為A的領(lǐng)項(xiàng),記作t(A)=x定義2.1設(shè)D為唯一分解環(huán),A=∑ax∈Dx]。A的容度記作cont(A),定義為eont(A)=gcd(a,a1,…,an)。若cont(A)=1,且e(A)=1,則稱(chēng)A為本原的。A的本原部分記作pp(A),定義為p!A)=u(A)- A/cont((A)。為方便計(jì),定義cont(O)=pp(0)=0。由帶余除法,容易證明以下定理。定理22設(shè)f(x),g(x)∈Dx],(f(x)≥叭(g(x))且le(g(x)=b≠0,則存在q(x),(x)∈Dx]滿(mǎn)足a(r(x)a(n2(x))>…>a(n(x))>…,故序列(x),(x),…,(x),…必終止于某n(x)。于是由定理23可知,有n(x)=gcd((x),g(x))。3實(shí)例應(yīng)用定理22和定理23,先求出滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的商式和余式以及兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式,并得到整系數(shù)的相關(guān)等式最后每一個(gè)等式除以同一整數(shù),即可得到滿(mǎn)足條件的各個(gè)式子。例1設(shè)f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3g(x)=2x-5x2-4x+3是Q(x)上的多項(xiàng)式,求a(x),v(x)∈Q(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=((x), g(x)).解:作偽除法2f(x)),r1(x)=-3x2+14x-15(-3)28(x)=(-6x-13)r1(x)+(56x-168)=(-6x-13)r1(x)+n2(x),2(x)=56x-168;6r1(x)=(-3x+5)n2(x)于是56(x-3)=22(6x+13)f(x)+(-12x2-32x-4)g(x)(x-3)=u(x)f(x)+u(x)g(x)。其中x這個(gè)方法還可以應(yīng)用于判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否有重因式,在計(jì)算過(guò)程中每次帶余除法都是在整數(shù)環(huán)中進(jìn)行,最后列出滿(mǎn)足條件的等式?？嘉墨I(xiàn)〔1〕張禾瑞近世代數(shù)基礎(chǔ)(修訂本)[M〕北京:高等教育出版社,1978〔2)張禾瑞,郝炳新高等代數(shù)(第三版)(M〕.北京:高等教育出版社,1983〔3〕張樹(shù)功,雷娜,劉停戰(zhàn)計(jì)算機(jī)代數(shù)基礎(chǔ)(M〕.北京:科學(xué)出版社,2005.〔貴任校對(duì)鄭瑛〕中國(guó)煤化工CNMHG